Probleme grele de Trigonometrie

Clasa a 9-a • 23 probleme de nivel greu

Ușor (194)Mediu (353)Toate
Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Se exprimă sin⁡4x+cos⁡4x=(sin⁡2x+cos⁡2x)2−2sin⁡2xcos⁡2x=1−12sin⁡22x\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x
22 puncte
Se obține ecuația 1−12sin⁡22x=a⇒sin⁡22x=2(1−a)1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x = a \Rightarrow \sin^2 2x = 2(1-a)
32 puncte
Condiția 0≤sin⁡22x≤10 \leq \sin^2 2x \leq 1 dă 0≤2(1−a)≤1⇒12≤a≤10 \leq 2(1-a) \leq 1 \Rightarrow \frac{1}{2} \leq a \leq 1
42 puncte
Pentru a=1a = 1: sin⁡22x=0⇒2x=kπ⇒x=kπ2\sin^2 2x = 0 \Rightarrow 2x = k\pi \Rightarrow x = \frac{k\pi}{2}, 4 soluții în [0,2π][0, 2\pi]
51 punct
Pentru a=12a = \frac{1}{2}: sin⁡22x=1⇒2x=π2+kπ⇒x=π4+kπ2\sin^2 2x = 1 \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, 4 soluții
61 punct
Pentru a∈(12,1)a \in (\frac{1}{2}, 1): sin⁡22x∈(0,1)⇒sin⁡2x=±2(1−a)\sin^2 2x \in (0,1) \Rightarrow \sin 2x = \pm \sqrt{2(1-a)}, fiecare dă 4 soluții, total 8 soluții

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se scrie sin⁡3x=3sin⁡x−4sin⁡3x\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x și cos⁡3x=4cos⁡3x−3cos⁡x\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x
22 puncte
Se obține sin⁡3xsin⁡x=3−4sin⁡2x\frac{\sin 3x}{\sin x} = 3 - 4\sin^2 x și cos⁡3xcos⁡x=4cos⁡2x−3\frac{\cos 3x}{\cos x} = 4\cos^2 x - 3
32 puncte
Diferența devine (3−4sin⁡2x)−(4cos⁡2x−3)=6−4(sin⁡2x+cos⁡2x)(3 - 4\sin^2 x) - (4\cos^2 x - 3) = 6 - 4(\sin^2 x + \cos^2 x)
42 puncte
Folosind sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1, rezultă 6−4=26 - 4 = 2
52 puncte
Verificare condiții: x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2} asigură numitorii nenuli

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Din sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și A∈(0,π)A \in (0, \pi), avem cos⁡A=±45\cos A = \pm \frac{4}{5}, dar sin⁡A>0\sin A > 0 și cos⁡B>0\cos B > 0 sugerează unghiuri ascuțite, deci cos⁡A=45\cos A = \frac{4}{5}
22 puncte
Din cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}, sin⁡B=1213\sin B = \frac{12}{13} (B ascuțit)
32 puncte
cos⁡C=cos⁡(π−(A+B))=−cos⁡(A+B)=−(cos⁡Acos⁡B−sin⁡Asin⁡B)=−(45⋅513−35⋅1213)=1665\cos C = \cos(\pi - (A+B)) = -\cos(A+B) = - (\cos A \cos B - \sin A \sin B) = - (\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} - \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13}) = \frac{16}{65}
42 puncte
Legea sinusurilor: asin⁡A=bsin⁡B⇒b=asin⁡Bsin⁡A=10⋅121335=20013\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \Rightarrow b = \frac{a \sin B}{\sin A} = \frac{10 \cdot \frac{12}{13}}{\frac{3}{5}} = \frac{200}{13}
52 puncte
Aria S=12absin⁡C=12⋅10⋅20013⋅1−cos⁡2C=100013⋅6365=63000845=12600169S = \frac{1}{2}ab \sin C = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \frac{200}{13} \cdot \sqrt{1 - \cos^2 C} = \frac{1000}{13} \cdot \frac{63}{65} = \frac{63000}{845} = \frac{12600}{169}

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se împarte ecuația la (3)2+12=2\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2: 32sin⁡x+12cos⁡x=22\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}
22 puncte
Se recunoaște cos⁡π6=32\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡π6=12\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, deci ecuația devine sin⁡(x+π6)=22\sin(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2}
32 puncte
Soluții generale: x+π6=π4+2kπx + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi sau x+π6=3π4+2kπx + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, k∈Zk \in \mathbb{Z}
42 puncte
Pentru x∈[0,π]x \in [0, \pi]: x=π12x = \frac{\pi}{12} (din prima) și x=7π12x = \frac{7\pi}{12} (din a doua)
52 puncte
Condiția tan⁡x>0\tan x > 0: tan⁡π12>0\tan \frac{\pi}{12} > 0 și tan⁡7π12=tan⁡(π−5π12)=−tan⁡5π12<0\tan \frac{7\pi}{12} = \tan(\pi - \frac{5\pi}{12}) = -\tan \frac{5\pi}{12} < 0, deci singura soluție este x=π12x = \frac{\pi}{12}

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Greu#5Trigonometrie
Să se rezolve ecuația sin⁡x+sin⁡2x+sin⁡3x=0\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0, folosind transformarea sumei în produs.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se grupează termenii: (sin⁡x+sin⁡3x)+sin⁡2x=0(\sin x + \sin 3x) + \sin 2x = 0
22 puncte
Se aplică formula sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}: sin⁡x+sin⁡3x=2sin⁡2xcos⁡x\sin x + \sin 3x = 2\sin 2x \cos x
32 puncte
Ecuația devine 2sin⁡2xcos⁡x+sin⁡2x=0⇒sin⁡2x(2cos⁡x+1)=02\sin 2x \cos x + \sin 2x = 0 \Rightarrow \sin 2x (2\cos x + 1) = 0
42 puncte
Cazul 1: sin⁡2x=0⇒2x=kπ⇒x=kπ2\sin 2x = 0 \Rightarrow 2x = k\pi \Rightarrow x = \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}
52 puncte
Cazul 2: 2cos⁡x+1=0⇒cos⁡x=−12⇒x=±2π3+2kπ2\cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, k∈Zk \in \mathbb{Z}

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Greu#6Trigonometrie
Fie x∈(0,π)x \in (0, \pi) astfel încât arcsin⁡(cos⁡x)+arccos⁡(sin⁡x)=π3\arcsin(\cos x) + \arccos(\sin x) = \frac{\pi}{3}. Să se determine xx.
Greu#7Trigonometrie
Să se demonstreze inegalitatea sin⁡Asin⁡Bsin⁡C≤338\sin A \sin B \sin C \leq \frac{3\sqrt{3}}{8} pentru orice triunghi ABCABC, unde A,B,CA, B, C sunt unghiurile triunghiului.
Greu#8Trigonometrie
Să se rezolve ecuația tan⁡x+tan⁡2x=3cos⁡x\tan x + \tan 2x = \frac{3}{\cos x}, cu x≠π2+kπx \neq \frac{\pi}{2} + k\pi și x≠π4+kπ2x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#9Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se discute după valorile lui aa numărul de soluții ale ecuației trigonometrice: sin⁡4x+cos⁡4x=a(sin⁡2x+cos⁡2x)+12sin⁡2x\sin^4 x + \cos^4 x = a(\sin^2 x + \cos^2 x) + \frac{1}{2}\sin 2x în intervalul [0,2π][0, 2\pi].
Greu#10Trigonometrie
Demonstrați identitatea trigonometrică netrivială: sin⁡3xsin⁡y+cos⁡3xcos⁡y=sec⁡(y−x)⋅sin⁡(2x−y)\frac{\sin^3 x}{\sin y} + \frac{\cos^3 x}{\cos y} = \sec(y - x) \cdot \sin(2x - y) pentru orice x,yx, y cu sin⁡y≠0\sin y \neq 0, cos⁡y≠0\cos y \neq 0, și cos⁡(y−x)≠0\cos(y - x) \neq 0.
Greu#11Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că perimetrul este P=30P = 30.
Greu#12Trigonometrie
Să se rezolve ecuația trigonometrică: arcsin⁡(2x)+arccos⁡(x)=π6\arcsin(2x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{6} și să se determine domeniul de definiție al soluțiilor.
Greu#13Trigonometrie
Folosind formula de transformare produs-sume, demonstrați inegalitatea: sin⁡Asin⁡Bsin⁡C≤338\sin A \sin B \sin C \leq \frac{3\sqrt{3}}{8} pentru orice unghiuri A,B,CA, B, C cu A+B+C=πA + B + C = \pi și A,B,C≥0A, B, C \geq 0.
Greu#14Trigonometrie
Să se rezolve ecuația trigonometrică prin substituția t=tan⁡x2t = \tan\frac{x}{2}: sin⁡x+3cos⁡x=2sin⁡2x\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2 \sin^2 x și să se afle soluțiile în intervalul [0,2π][0, 2\pi].
Greu#15Trigonometrie
Fie α,β∈(0,π/2)\alpha, \beta \in (0, \pi/2) astfel încât tan⁡α=2\tan \alpha = 2 și tan⁡β=3\tan \beta = 3. Să se calculeze α+β\alpha + \beta și să se deducă valoarea lui tan⁡(α+β)\tan(\alpha + \beta) fără a folosi direct formula de adunare, ci prin reducere la primul cadran și folosind proprietăți trigonometrice.

Și alte 8 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Accesează toate cele 23 probleme de Trigonometrie cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.