Probleme de nivel mediu de Trigonometrie

Clasa a 9-a • 353 probleme de nivel mediu

Ușor (194)Greu (23)Toate
Mediu#1TrigonometrieEcuații iraționaleFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația 13−18tan⁡x=6tan⁡x−3.\sqrt{13 - 18\tan x} = 6\tan x - 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm t=tan⁡xt = \tan x. Condițiile devin 13−18t≥013 - 18t \ge 0 și 6t−3≥06t - 3 \ge 0, adică 12≤t≤1318\tfrac{1}{2} \le t \le \tfrac{13}{18}. Ecuația se rescrie 13−18t=6t−3.\sqrt{13 - 18t} = 6t - 3.\n
23 puncte
Ridicăm la pătrat: 13−18t=(6t−3)2=36t2−36t+9.13 - 18t = (6t - 3)^2 = 36t^2 - 36t + 9. Obținem ecuația 36t2−18t−4=0,36t^2 - 18t - 4 = 0, echivalentă cu 18t2−9t−2=0.18t^2 - 9t - 2 = 0. Discriminantul este Δ=225=152\Delta = 225 = 15^2, deci t1,2=9±1536=23, −16.t_{1,2} = \frac{9 \pm 15}{36} = \frac{2}{3},\ -\frac{1}{6}.\n
34 puncte
Din intervalul admis reținem doar t=23t = \tfrac{2}{3}. Revine tan⁡x=23\tan x = \tfrac{2}{3}, deci soluțiile sunt x=arctan⁡23+kπ,  k∈Z.x = \arctan \frac{2}{3} + k\pi,\; k \in \mathbb{Z}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2TrigonometrieEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația: 2sin⁡2x+4⋅2cos⁡2x=62^{\sin^2 x} + 4\cdot 2^{\cos^2 x} = 6.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observați identitatea sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x+\cos^2 x=1 şi notați a=2sin⁡2xa=2^{\sin^2 x}, b=2cos⁡2xb=2^{\cos^2 x}. Atunci ab=2sin⁡2x+cos⁡2x=2ab=2^{\sin^2 x+\cos^2 x}=2.
24 puncte
Înlocuiți b=2/ab=2/a în ecuație: a+4⋅2a=6⇒a2−6a+8=0⇒(a−2)(a−4)=0a+4\cdot\dfrac{2}{a}=6\Rightarrow a^2-6a+8=0\Rightarrow (a-2)(a-4)=0, deci a=2a=2 sau a=4a=4.
33 puncte
Din a=2sin⁡2xa=2^{\sin^2 x} rezultă pentru a=2a=2 că 2sin⁡2x=2⇒sin⁡2x=1⇒sin⁡x=±1⇒x=π2+kπ2^{\sin^2 x}=2\Rightarrow \sin^2 x=1\Rightarrow \sin x=\pm1\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}. Soluţia a=4a=4 este imposibilă deoarece sin⁡2x≤1\sin^2 x\le1 ar necesita sin⁡2x=2\sin^2 x=2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3Trigonometrie
Arătați că sin⁡α−sin⁡2α+sin⁡3α=4cos⁡3α2cos⁡αsin⁡α2\sin\alpha-\sin2\alpha+\sin3\alpha=4\cos\dfrac{3\alpha}{2}\cos\alpha\sin\dfrac{\alpha}{2}

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Aplicaţi identitatea sin⁡x−sin⁡y=2cos⁡x+y2sin⁡x−y2\sin x-\sin y=2\cos\dfrac{x+y}{2}\sin\dfrac{x-y}{2} pentru x=αx=\alpha, y=2αy=2\alpha pentru a obţine sin⁡α−sin⁡2α=−2cos⁡3α2sin⁡α2\sin\alpha-\sin2\alpha=-2\cos\dfrac{3\alpha}{2}\sin\dfrac{\alpha}{2}.
25 puncte
Scrieţi sin⁡3α=2sin⁡3α2cos⁡3α2\sin3\alpha=2\sin\dfrac{3\alpha}{2}\cos\dfrac{3\alpha}{2} şi adunaţi cu expresia de la pasul anterior: obţineţi 2cos⁡3α2(sin⁡3α2−sin⁡α2)2\cos\dfrac{3\alpha}{2}\bigl(\sin\dfrac{3\alpha}{2}-\sin\dfrac{\alpha}{2}\bigr).
32 puncte
Folosiţi sin⁡U−sin⁡V=2cos⁡U+V2sin⁡U−V2\sin U-\sin V=2\cos\dfrac{U+V}{2}\sin\dfrac{U-V}{2} pentru U=3α2U=\dfrac{3\alpha}{2}, V=α2V=\dfrac{\alpha}{2} şi concluzionaţi că expresia egală cu 4cos⁡3α2cos⁡αsin⁡α24\cos\dfrac{3\alpha}{2}\cos\alpha\sin\dfrac{\alpha}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4Trigonometrie
Arătați că sin⁡2(4α)2cos⁡α+cos⁡(3α)+cos⁡(5α)=2sin⁡αsin⁡(2α)\frac{\sin^{2}(4\alpha)}{2\cos\alpha + \cos(3\alpha) + \cos(5\alpha)} = 2\sin\alpha\sin(2\alpha).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Folosiți identitatea suma cosinusurilor: cos⁡(3α)+cos⁡(5α)=2cos⁡(4α)cos⁡α\cos(3\alpha)+\cos(5\alpha)=2\cos(4\alpha)\cos\alpha, deci numitorul devine 2cos⁡α+2cos⁡(4α)cos⁡α=2cos⁡α(1+cos⁡4α)2\cos\alpha+2\cos(4\alpha)\cos\alpha=2\cos\alpha(1+\cos4\alpha).
24 puncte
Folosiți 1+cos⁡4α=2cos⁡22α1+\cos4\alpha=2\cos^{2}2\alpha şi scrieți numărătorul ca sin⁡24α=(2sin⁡2αcos⁡2α)2=4sin⁡22αcos⁡22α\sin^{2}4\alpha=(2\sin2\alpha\cos2\alpha)^{2}=4\sin^{2}2\alpha\cos^{2}2\alpha, obţinând fracţia 4sin⁡22αcos⁡22α4cos⁡αcos⁡22α=sin⁡22αcos⁡α\dfrac{4\sin^{2}2\alpha\cos^{2}2\alpha}{4\cos\alpha\cos^{2}2\alpha}=\dfrac{\sin^{2}2\alpha}{\cos\alpha}.
33 puncte
Folosiţi sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha pentru a obţine sin⁡22αcos⁡α=(2sin⁡αcos⁡α)2cos⁡α=4sin⁡2αcos⁡α=2sin⁡αsin⁡2α\dfrac{\sin^{2}2\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{(2\sin\alpha\cos\alpha)^{2}}{\cos\alpha}=4\sin^{2}\alpha\cos\alpha=2\sin\alpha\sin2\alpha, concluzionând identitatea.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5Trigonometrie
Arătați că sin⁡2(45∘+α)−sin⁡2(30∘−α)−sin⁡15∘⋅cos⁡(15∘+2α)=sin⁡2α\sin^{2}(45^{\circ}+\alpha)-\sin^{2}(30^{\circ}-\alpha)-\sin15^{\circ}\cdot\cos(15^{\circ}+2\alpha)=\sin2\alpha.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Folosiţi identitatea sin⁡2u−sin⁡2v=sin⁡(u+v)sin⁡(u−v)\sin^{2}u-\sin^{2}v=\sin(u+v)\sin(u-v) cu u=45∘+αu=45^{\circ}+\alpha, v=30∘−αv=30^{\circ}-\alpha, obţinând sin⁡75∘sin⁡(15∘+2α)\sin75^{\circ}\sin(15^{\circ}+2\alpha).
23 puncte
Observaţi că sin⁡75∘=cos⁡15∘\sin75^{\circ}=\cos15^{\circ}, astfel primele două termene dau cos⁡15∘sin⁡(15∘+2α)\cos15^{\circ}\sin(15^{\circ}+2\alpha).
34 puncte
Scădeţi termenul dat şi folosiţi formula pentru diferenţa de produse: cos⁡15∘sin⁡(15∘+2α)−sin⁡15∘cos⁡(15∘+2α)=sin⁡((15∘+2α)−15∘)=sin⁡2α\cos15^{\circ}\sin(15^{\circ}+2\alpha)-\sin15^{\circ}\cos(15^{\circ}+2\alpha)=\sin\big((15^{\circ}+2\alpha)-15^{\circ}\big)=\sin2\alpha, ceea ce încheie demonstraţia.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6Trigonometrie
Arătați că (sin⁡2α−sin⁡6α)+(cos⁡2α−cos⁡6α)sin⁡4α−cos⁡4α=2sin⁡2α\frac{(\sin 2\alpha - \sin 6\alpha) + (\cos 2\alpha - \cos 6\alpha)}{\sin 4\alpha - \cos 4\alpha} = 2\sin 2\alpha
Mediu#7Trigonometrie
Arătați că (tan⁡2 ⁣(α−π4)−1tan⁡2 ⁣(α−π4)+1+cos⁡α2⋅cot⁡4α)⋅sec⁡9α2=csc⁡4α\left(\dfrac{\tan^2\!\left(\alpha - \dfrac{\pi}{4}\right)-1}{\tan^2\!\left(\alpha - \dfrac{\pi}{4}\right)+1} + \cos\dfrac{\alpha}{2}\cdot\cot 4\alpha\right)\cdot\sec\dfrac{9\alpha}{2} = \csc 4\alpha
Mediu#8TrigonometrieIdentități algebrice
Arătați că sin⁡2x−sin⁡3x+sin⁡4xcos⁡2x−cos⁡3x+cos⁡4x=tan⁡3x\dfrac{\sin 2x - \sin 3x + \sin 4x}{\cos 2x - \cos 3x + \cos 4x} = \tan 3x
Mediu#9TrigonometrieDomeniul de definiție al funcțiilor
Arătați că 1−cos⁡(2x−π)−cos⁡(4x+π)+cos⁡(6x−2π)=4cos⁡x⋅cos⁡2x⋅cos⁡3x1 - \cos(2x-\pi) - \cos(4x+\pi) + \cos(6x-2\pi) = 4\cos x\cdot\cos 2x\cdot\cos 3x
Mediu#10TrigonometrieIdentități algebrice
Arătați că 14sin⁡2αcos⁡2α−(1−tan⁡2α)24tan⁡2α=1\frac{1}{4\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha}-\frac{(1-\tan^{2}\alpha)^{2}}{4\tan^{2}\alpha}=1.
Mediu#11Trigonometrie
Arătați că 1−2cos⁡2α2tan⁡(α−π4)sin⁡2(π4+α)=1\frac{1 - 2\cos^2\alpha}{2\tan\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)\sin^2\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)} = 1.
Mediu#12Trigonometrie
Arătați că cot⁡α−tan⁡α2sin⁡α+cos⁡(90∘+3α)+sin⁡5α=csc⁡α⋅csc⁡4α\dfrac{\cot\alpha-\tan\alpha}{2\sin\alpha+\cos\left(90^\circ+3\alpha\right)+\sin5\alpha}=\csc\alpha\cdot\csc4\alpha.
Mediu#13Trigonometrie
Arătați că 1+2cos⁡7α=sin⁡21α2sin⁡7α21 + 2\cos 7\alpha = \dfrac{\sin\dfrac{21\alpha}{2}}{\sin\dfrac{7\alpha}{2}}.
Mediu#14Trigonometrie
Arătați că cot⁡α−tan⁡α−2tan⁡2α−4tan⁡4α=8cot⁡8α\cot\alpha - \tan\alpha - 2\tan 2\alpha - 4\tan 4\alpha = 8\cot 8\alpha.
Mediu#15Trigonometrie
Arătați că (sin⁡α+cos⁡αcos⁡α−sin⁡α)⋅tan⁡(π4+α)+1=csc⁡2(π4−α)\left(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\cos\alpha-\sin\alpha}\right)\cdot\tan\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)+1=\csc^2\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right).

Și alte 338 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Accesează toate cele 353 probleme de Trigonometrie cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.