Probleme ușoare de Trigonometrie

Clasa a 9-a • 194 probleme de nivel ușor

Mediu (353)Greu (23)Toate
Ușor#1TrigonometrieIdentități algebrice
Arătați că 1+sin⁡α1+cos⁡α⋅1+sec⁡α1+csc⁡α=tan⁡α\frac{1+\sin\alpha}{1+\cos\alpha}\cdot\frac{1+\sec\alpha}{1+\csc\alpha}=\tan\alpha.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Înlocuiți sec⁡α=1/cos⁡α\sec\alpha=1/\cos\alpha și csc⁡α=1/sin⁡α\csc\alpha=1/\sin\alpha și scrieți expresia sub forma 1+sin⁡α1+cos⁡α⋅1+1cos⁡α1+1sin⁡α\dfrac{1+\sin\alpha}{1+\cos\alpha}\cdot\dfrac{1+\tfrac{1}{\cos\alpha}}{1+\tfrac{1}{\sin\alpha}}.
26 puncte
Reduceți factorii obținând 1+sin⁡α1+cos⁡α⋅1+cos⁡αcos⁡α1+sin⁡αsin⁡α=1cos⁡α⋅sin⁡α1=sin⁡αcos⁡α=tan⁡α\dfrac{1+\sin\alpha}{1+\cos\alpha}\cdot\dfrac{\tfrac{1+\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\tfrac{1+\sin\alpha}{\sin\alpha}}=\dfrac{1}{\cos\alpha}\cdot\dfrac{\sin\alpha}{1}=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\tan\alpha.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2Trigonometrie
Arătați că sin⁡x+cos⁡xcos⁡3x=tan⁡3x+tan⁡2x+tan⁡x+1\dfrac{\sin x+\cos x}{\cos^3 x}=\tan^3 x+\tan^2 x+\tan x+1.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Descompuneți suma: sin⁡x+cos⁡xcos⁡3x=sin⁡xcos⁡3x+cos⁡xcos⁡3x=sin⁡xcos⁡x⋅1cos⁡2x+1cos⁡2x\dfrac{\sin x+\cos x}{\cos^3 x}=\dfrac{\sin x}{\cos^3 x}+\dfrac{\cos x}{\cos^3 x}=\dfrac{\sin x}{\cos x}\cdot\dfrac{1}{\cos^2 x}+\dfrac{1}{\cos^2 x}.
26 puncte
Folosiți tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} și sec⁡2x=1+tan⁡2x\sec^2 x=1+\tan^2 x pentru a obține tan⁡xsec⁡2x+sec⁡2x=sec⁡2x(tan⁡x+1)=(1+tan⁡2x)(tan⁡x+1)=tan⁡3x+tan⁡2x+tan⁡x+1\tan x\sec^2 x+\sec^2 x=\sec^2 x(\tan x+1)=(1+\tan^2 x)(\tan x+1)=\tan^3 x+\tan^2 x+\tan x+1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3Trigonometrie
Arătați că 12(cos⁡t+3sin⁡t)=cos⁡(π3−t)\tfrac{1}{2}(\cos t+\sqrt{3}\sin t)=\cos\bigl(\tfrac{\pi}{3}-t\bigr).

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Aplicați formula cosinusului diferenței: cos⁡(A−B)=cos⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡B\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B cu A=π3A=\tfrac{\pi}{3} și B=tB=t.
26 puncte
Calculați cos⁡π3=12\cos\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{1}{2} și sin⁡π3=32\sin\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\sqrt{3}}{2} și obțineți cos⁡(π3−t)=12cos⁡t+32sin⁡t=12(cos⁡t+3sin⁡t)\cos\bigl(\tfrac{\pi}{3}-t\bigr)=\tfrac{1}{2}\cos t+\tfrac{\sqrt{3}}{2}\sin t=\tfrac{1}{2}(\cos t+\sqrt{3}\sin t).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4Trigonometrie
Arătați că sin⁡4α+2sin⁡αcos⁡α−cos⁡4αtan⁡2α−1=cos⁡2α\dfrac{\sin^4\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha-\cos^4\alpha}{\tan2\alpha-1}=\cos2\alpha.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
15 puncte
Observați că sin⁡4α−cos⁡4α=(sin⁡2α−cos⁡2α)(sin⁡2α+cos⁡2α)=sin⁡2α−cos⁡2α=−cos⁡2α\sin^4\alpha-\cos^4\alpha=(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha)(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)=\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=-\cos2\alpha și că 2sin⁡αcos⁡α=sin⁡2α2\sin\alpha\cos\alpha=\sin2\alpha, deci numărătorul devine sin⁡2α−cos⁡2α\sin2\alpha-\cos2\alpha.
25 puncte
Scrieți tan⁡2α−1=sin⁡2αcos⁡2α−1=sin⁡2α−cos⁡2αcos⁡2α\tan2\alpha-1=\dfrac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha}-1=\dfrac{\sin2\alpha-\cos2\alpha}{\cos2\alpha} și împărțiți pentru a obține sin⁡2α−cos⁡2αsin⁡2α−cos⁡2αcos⁡2α=cos⁡2α\dfrac{\sin2\alpha-\cos2\alpha}{\tfrac{\sin2\alpha-\cos2\alpha}{\cos2\alpha}}=\cos2\alpha.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5Trigonometrie
Arătați că 1−2sin⁡2α1+sin⁡2α=1−tan⁡α1+tan⁡α\dfrac{1-2\sin^2\alpha}{1+\sin2\alpha}=\dfrac{1-\tan\alpha}{1+\tan\alpha}.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
15 puncte
Folosiți identitățile duble: 1−2sin⁡2α=cos⁡2α1-2\sin^2\alpha=\cos2\alpha și sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha, deci 1+sin⁡2α=(cos⁡α+sin⁡α)21+\sin2\alpha=(\cos\alpha+\sin\alpha)^2.
25 puncte
Scrieți cos⁡2α=(cos⁡α−sin⁡α)(cos⁡α+sin⁡α)\cos2\alpha=(\cos\alpha-\sin\alpha)(\cos\alpha+\sin\alpha) și împărțiți pentru a obține cos⁡α−sin⁡αcos⁡α+sin⁡α\dfrac{\cos\alpha-\sin\alpha}{\cos\alpha+\sin\alpha}. Observați că 1−tan⁡α1+tan⁡α=cos⁡α−sin⁡αcos⁡αcos⁡α+sin⁡αcos⁡α=cos⁡α−sin⁡αcos⁡α+sin⁡α\dfrac{1-\tan\alpha}{1+\tan\alpha}=\dfrac{\tfrac{\cos\alpha-\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\tfrac{\cos\alpha+\sin\alpha}{\cos\alpha}}=\dfrac{\cos\alpha-\sin\alpha}{\cos\alpha+\sin\alpha}, deci cele două părți sunt egale.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#6Trigonometrie
Arătați că cos⁡2β(tan⁡2α−tan⁡2β)sec⁡2α=sin⁡(α+β)sin⁡(α−β)\frac{\cos^2\beta\bigl(\tan^2\alpha-\tan^2\beta\bigr)}{\sec^2\alpha}=\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)
Ușor#7Trigonometrie
Arătați că tan⁡(π4+α)=1+sin⁡2αcos⁡2α\tan\bigl(\tfrac{\pi}{4}+\alpha\bigr)=\dfrac{1+\sin2\alpha}{\cos2\alpha}
Ușor#8TrigonometrieIdentități algebrice
Arătați că sin⁡2(α+β)−sin⁡2α−sin⁡2β=2sin⁡αsin⁡βcos⁡(α+β)\sin^2(\alpha+\beta)-\sin^2\alpha-\sin^2\beta=2\sin\alpha\sin\beta\cos(\alpha+\beta)
Ușor#9Trigonometrie
Arătați că (1+tan⁡βtan⁡2β)sin⁡2β=tan⁡2β(1+\tan\beta\tan2\beta)\sin2\beta=\tan2\beta
Ușor#10Trigonometrie
Arătați că sin⁡α+2sin⁡3α+sin⁡5α=4sin⁡3αcos⁡2α\sin\alpha + 2\sin3\alpha + \sin5\alpha = 4\sin3\alpha\cos^{2}\alpha.
Ușor#11Trigonometrie
Arătați că sin⁡2α+sin⁡4α−sin⁡6α=4sin⁡αsin⁡2αsin⁡3α\sin2\alpha + \sin4\alpha - \sin6\alpha = 4\sin\alpha\sin2\alpha\sin3\alpha.
Ușor#12Trigonometrie
Arătați că sin⁡α+sin⁡3α+sin⁡5αcos⁡α+cos⁡3α+cos⁡5α=tan⁡3α\dfrac{\sin\alpha+\sin3\alpha+\sin5\alpha}{\cos\alpha+\cos3\alpha+\cos5\alpha}=\tan3\alpha.
Ușor#13Trigonometrie
Arătați că cos⁡2α−sin⁡22α=cos⁡2α cos⁡2α−2sin⁡2α cos⁡2α\cos^2\alpha - \sin^2 2\alpha = \cos^2\alpha\,\cos 2\alpha - 2\sin^2\alpha\,\cos^2\alpha
Ușor#14Trigonometrie
Arătați că tan⁡2x⋅tan⁡xtan⁡2x−tan⁡x=sin⁡2x\frac{\tan 2x\cdot\tan x}{\tan 2x-\tan x}=\sin 2x.
Ușor#15Trigonometrie
Arătați că sin⁡4α−cos⁡4α+cos⁡2α2(1−cos⁡α)=cos⁡2(α2)\frac{\sin^{4}\alpha-\cos^{4}\alpha+\cos^{2}\alpha}{2(1-\cos\alpha)}=\cos^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right).

Și alte 179 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Accesează toate cele 194 probleme de Trigonometrie cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.