Probleme de nivel mediu de Vectori

Clasa a 9-a • 147 probleme de nivel mediu

Ușor (165)Toate
Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Așezați coordonate: N la (0,0)(0,0), mal opus la y=1y=1, M la (s,1)(s,1). Pescarul are poziția xp(t)=s−4tx_p(t)=s-4t; dacă întâlnirea are loc la momentul t1t_1, atunci punctul de întâlnire e (x,ty)=(s−4t1,1)(x,t_y)=(s-4t_1,1). Pentru traiectoria bărcii, notați timpii t1t_1 (dus) și t2t_2 (întors) cu suma t1+t2=9/8t_1+t_2=9/8.
24 puncte
Din componentele vitezei bărcii față de mal obțineți condițiile (pentru dus) (xt1−1)2+(1t1)2=16\left(\dfrac{x}{t_1}-1\right)^2+\left(\dfrac{1}{t_1}\right)^2=16 şi relația x=s−4t1x=s-4t_1. Pentru întors aveți (−xt2−1)2+(−1t2)2=16\left(-\dfrac{x}{t_2}-1\right)^2+\left(-\dfrac{1}{t_2}\right)^2=16. Eliminând xx și t2=T−t1t_2=T-t_1 (cu T=9/8T=9/8) se ajunge la o ecuație algebrică pentru t1t_1 și apoi la o expresie pentru ss.
33 puncte
Rezolvând sistemul se obţin două soluţii pentru t1t_1, din care singura fizică (cu s≥3s\ge3) dă s≈3,622s\approx 3{,}622 km. Prezentați această valoare numerică și verificați că satisface condițiile problemei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2VectoriSisteme de Ecuații LiniareGeometrie Analitică
În spațiu, se consideră vectorii p⃗=2i⃗−j⃗+3k⃗\vec{p} = 2\vec{i} - \vec{j} + 3\vec{k}, q⃗=−i⃗+4j⃗−2k⃗\vec{q} = -\vec{i} + 4\vec{j} - 2\vec{k} și r⃗=ai⃗+bj⃗+ck⃗\vec{r} = a\vec{i} + b\vec{j} + c\vec{k}. Determinați aa, bb, cc astfel încât r⃗\vec{r} să fie coplanar cu p⃗\vec{p} și q⃗\vec{q}, iar modulul său să fie 55.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Condiția de coplanaritate: det⁡(2−1a−14b3−2c)=0\det \begin{pmatrix} 2 & -1 & a \\ -1 & 4 & b \\ 3 & -2 & c \end{pmatrix} = 0. Calcul: det⁡=2(4c+2b)−(−1)((−1)c−(−2)a)+a((−1)(−2)−4⋅3)=8c+4b+(−c+2a)+a(2−12)=7c+4b−8a=0⇒8a−4b−7c=0\det = 2(4c + 2b) - (-1)((-1)c - (-2)a) + a((-1)(-2) - 4 \cdot 3) = 8c + 4b + (-c + 2a) + a(2 - 12) = 7c + 4b - 8a = 0 \Rightarrow 8a - 4b - 7c = 0.
23 puncte
Condiția pentru modul: ∣r⃗∣=5⇒a2+b2+c2=5⇒a2+b2+c2=25|\vec{r}| = 5 \Rightarrow \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = 5 \Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 = 25.
33 puncte
Rezolvăm sistemul {8a−4b−7c=0a2+b2+c2=25\begin{cases} 8a - 4b - 7c = 0 \\ a^2 + b^2 + c^2 = 25 \end{cases}. Din prima ecuație, b=2a−74cb = 2a - \frac{7}{4}c. Alegem c=0c=0 pentru simplitate, atunci b=2ab=2a și a2+(2a)2=5a2=25⇒a2=5⇒a=±5a^2 + (2a)^2 = 5a^2 = 25 \Rightarrow a^2 = 5 \Rightarrow a = \pm \sqrt{5}, b=±25b = \pm 2\sqrt{5}, c=0c=0. O soluție este a=5a=\sqrt{5}, b=25b=2\sqrt{5}, c=0c=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3VectoriSisteme de Ecuații Liniare
În spațiul OxyzOxyz, se consideră vectorii a⃗=i⃗+2j⃗−k⃗\vec{a} = \vec{i} + 2\vec{j} - \vec{k}, b⃗=3i⃗−j⃗+4k⃗\vec{b} = 3\vec{i} - \vec{j} + 4\vec{k}, și c⃗=−2i⃗+5j⃗+mk⃗\vec{c} = -2\vec{i} + 5\vec{j} + m\vec{k}, unde mm este un parametru real. a) Pentru m=1m = 1, calculați produsul mixt [a⃗,b⃗,c⃗][\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]. b) Determinați mm astfel încât vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b}, c⃗\vec{c} să fie coplanari. c) Pentru mm găsit, rezolvați sistemul de ecuații liniare care exprimă combinația liniară αa⃗+βb⃗+γc⃗=0⃗\alpha \vec{a} + \beta \vec{b} + \gamma \vec{c} = \vec{0}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Pentru m=1m=1, c⃗=−2i⃗+5j⃗+k⃗\vec{c} = -2\vec{i} + 5\vec{j} + \vec{k}. Produsul mixt [a⃗,b⃗,c⃗]=a⃗⋅(b⃗×c⃗)=−56[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = -56.
23 puncte
Vectorii sunt coplanari dacă produsul mixt este zero. Calculând în funcție de mm, obținem [a⃗,b⃗,c⃗]=−7m−49[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = -7m - 49. Setăm −7m−49=0-7m - 49 = 0, deci m=−7m = -7.
34 puncte
Pentru m=−7m=-7, sistemul αa⃗+βb⃗+γc⃗=0⃗\alpha \vec{a} + \beta \vec{b} + \gamma \vec{c} = \vec{0} devine: {α+3β−2γ=02α−β+5γ=0−α+4β−7γ=0\begin{cases} \alpha + 3\beta - 2\gamma = 0 \\ 2\alpha - \beta + 5\gamma = 0 \\ -\alpha + 4\beta - 7\gamma = 0 \end{cases}. Rezolvând, de exemplu prin eliminare, obținem soluțiile α=−2γ,β=γ\alpha = -2\gamma, \beta = \gamma, cu γ\gamma liber, indicând dependență liniară.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4VectoriAlgebră și Calcule cu Numere RealeDeterminanți
Se dau vectorii u⃗=2i⃗−j⃗+3k⃗\vec{u} = 2\vec{i} - \vec{j} + 3\vec{k}, v⃗=−i⃗+4j⃗+k⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j} + \vec{k}, și w⃗=i⃗+j⃗−2k⃗\vec{w} = \vec{i} + \vec{j} - 2\vec{k}. a) Verificați dacă acești vectori sunt coplanari. b) Dacă nu sunt coplanari, calculați volumul paralelipipedului determinat de ei. c) Aflați un vector unitar perpendicular pe u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculați produsul mixt pentru coplanaritate: u⃗⋅(v⃗×w⃗)\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}). Mai întâi, v⃗×w⃗=∣i⃗j⃗k⃗−14111−2∣=(−9)i⃗−j⃗−5k⃗\vec{v} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = (-9)\vec{i} - \vec{j} -5\vec{k}. Apoi, u⃗⋅(v⃗×w⃗)=(2)(−9)+(−1)(−1)+(3)(−5)=−18+1−15=−32≠0\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = (2)(-9) + (-1)(-1) + (3)(-5) = -18 + 1 -15 = -32 \neq 0, deci vectorii nu sunt coplanari.
23 puncte
Volumul paralelipipedului este ∣u⃗⋅(v⃗×w⃗)∣=32|\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})| = 32.
33 puncte
Găsiți un vector perpendicular pe u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v}: u⃗×v⃗=∣i⃗j⃗k⃗2−13−141∣=(−13)i⃗−5j⃗+7k⃗\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ -1 & 4 & 1 \end{vmatrix} = (-13)\vec{i} -5\vec{j} +7\vec{k}. Magnitudinea sa este (−13)2+(−5)2+72=243=93\sqrt{(-13)^2 + (-5)^2 + 7^2} = \sqrt{243} = 9\sqrt{3}. Vectorul unitar este −13i⃗−5j⃗+7k⃗93\frac{-13\vec{i} -5\vec{j} +7\vec{k}}{9\sqrt{3}}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5VectoriNumere Complexe
Fie vectorii v⃗1\vec{v}_1 și v⃗2\vec{v}_2 în plan, cu coordonatele (a,b)(a,b) și (c,d)(c,d) în baza ortonormată (i⃗,j⃗)(\vec{i}, \vec{j}). Acestor vectori le corespund numerele complexe z1=a+biz_1 = a+bi și z2=c+diz_2 = c+di. a) Demonstrați că v⃗1\vec{v}_1 și v⃗2\vec{v}_2 sunt coliniari dacă și numai dacă z1z2\frac{z_1}{z_2} este un număr real. b) Pentru z1=2−4iz_1 = 2-4i și z2=−1+2iz_2 = -1+2i, verificați coliniaritatea vectorilor și determinați un vector de modul 10 coliniar cu v⃗1\vec{v}_1.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Scrierea condiției de coliniaritate: v⃗1\vec{v}_1 și v⃗2\vec{v}_2 coliniari dacă și numai dacă există λ∈R\lambda \in \mathbb{R} astfel încât v⃗1=λv⃗2\vec{v}_1 = \lambda \vec{v}_2. \n
22 puncte
Exprimarea în coordonate: a=λca = \lambda c și b=λdb = \lambda d, de unde ad−bc=0ad - bc = 0. \n
32 puncte
Calculul raportului z1z2=a+bic+di=ac+bdc2+d2+ibc−adc2+d2\frac{z_1}{z_2} = \frac{a+bi}{c+di} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + i\frac{bc-ad}{c^2+d^2}, care este real dacă și numai dacă bc−ad=0bc-ad=0, echivalent cu ad−bc=0ad-bc=0. \n
42 puncte
Pentru z1=2−4iz_1 = 2-4i și z2=−1+2iz_2 = -1+2i, calculăm z1z2=2−4i−1+2i=(2−4i)(−1−2i)(−1)2+22=−2−4i+4i+8i25=−105=−2∈R\frac{z_1}{z_2} = \frac{2-4i}{-1+2i} = \frac{(2-4i)(-1-2i)}{(-1)^2+2^2} = \frac{-2-4i+4i+8i^2}{5} = \frac{-10}{5} = -2 \in \mathbb{R}, deci vectorii sunt coliniari. \n
52 puncte
Vectorul v⃗1\vec{v}_1 are coordonatele (2,−4)(2,-4). Un vector coliniar de modul 10 se obține prin înmulțirea cu un scalar: dacă u⃗=kv⃗1\vec{u} = k\vec{v}_1, atunci ∥u⃗∥=∣k∣∥v⃗1∥=∣k∣20=10\|\vec{u}\| = |k| \|\vec{v}_1\| = |k| \sqrt{20} = 10, deci ∣k∣=1020=1025=55=5|k| = \frac{10}{\sqrt{20}} = \frac{10}{2\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}. Astfel, u⃗=±5(2,−4)=(25,−45)\vec{u} = \pm \sqrt{5}(2,-4) = (2\sqrt{5}, -4\sqrt{5}) sau (−25,45)(-2\sqrt{5}, 4\sqrt{5}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6VectoriGeometrie Analitică
În spațiul euclidian tridimensional, se consideră punctele A(1,0,−1)A(1,0,-1), B(2,1,0)B(2,1,0) și C(0,1,2)C(0,1,2). a) Calculați coordonatele vectorilor AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Determinați aria triunghiului ABCABC folosind produsul vectorial. c) Scrieți ecuația planului determinat de punctele AA, BB, CC.
Mediu#7VectoriGeometrie AnaliticăTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗+3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} + 3\vec{j} și v⃗=ai⃗+bj⃗\vec{v} = a\vec{i} + b\vec{j}, unde aa și bb sunt numere reale. a) Determinați aa și bb astfel încât u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v} să fie perpendiculari și ∣v⃗∣=5|\vec{v}| = 5. b) Pentru valorile găsite, calculați unghiul θ\theta dintre u⃗\vec{u} și w⃗=v⃗+u⃗\vec{w} = \vec{v} + \vec{u}.
Mediu#8VectoriAlgebră și Calcule cu Numere RealeTrigonometrie
În spațiul tridimensional, se consideră vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b}, c⃗\vec{c} cu ∣a⃗∣=3|\vec{a}|=3, ∣b⃗∣=4|\vec{b}|=4, ∣c⃗∣=5|\vec{c}|=5 și a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 0, b⃗⋅c⃗=0\vec{b} \cdot \vec{c} = 0, a⃗⋅c⃗=12\vec{a} \cdot \vec{c} = 12. Calculați modulul vectorului s⃗=a⃗+b⃗+c⃗\vec{s} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}.
Mediu#9VectoriSisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră vectorii u⃗=3i⃗−j⃗+2k⃗\vec{u} = 3\vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k}, v⃗=i⃗+4j⃗−k⃗\vec{v} = \vec{i} + 4\vec{j} - \vec{k} și w⃗=xi⃗+yj⃗+zk⃗\vec{w} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}. Dacă w⃗\vec{w} este perpendicular pe u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v}, iar w⃗⋅(i⃗+j⃗+k⃗)=6\vec{w} \cdot (\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}) = 6, aflați coordonatele lui w⃗\vec{w}.
Mediu#10VectoriSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră vectorii u⃗=(1,2,3)\vec{u} = (1,2,3), v⃗=(2,−1,1)\vec{v} = (2,-1,1) și w⃗=(0,3,k)\vec{w} = (0,3,k) în spațiul R3\mathbb{R}^3. Determinați k∈Rk \in \mathbb{R} astfel încât vectorii să fie liniar dependenți, și rezolvați sistemul de ecuații liniare care rezultă din condiția de dependență liniară.
Mediu#11VectoriGeometrie AnaliticăTrigonometrie
Se consideră vectorii a⃗=2i⃗−j⃗+3k⃗\vec{a} = 2\vec{i} - \vec{j} + 3\vec{k} și b⃗=−i⃗+4j⃗+2k⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} + 2\vec{k}. Calculați ∣a⃗×b⃗∣|\vec{a} \times \vec{b}|, determinați unghiul dintre a⃗\vec{a} și b⃗\vec{b}, și aflați volumul paralelipipedului construit pe vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și c⃗=i⃗+j⃗−k⃗\vec{c} = \vec{i} + \vec{j} - \vec{k}.
Mediu#12VectoriGeometrie AnaliticăAplicații ale trigonometriei în geometrie
În triunghiul ABC, se cunosc lungimile laturilor: AB = 5, BC = 6, AC = 7. Fie M mijlocul laturii BC. Exprimați vectorul AM⃗\vec{AM} în funcție de AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}, calculați ∣AM⃗∣|\vec{AM}|, și determinați măsura unghiului BAC^\widehat{BAC} folosind produsul scalar.
Mediu#13VectoriGeometrie Analitică
În sistemul de coordonate xOy, se consideră vectorii u⃗=(a+1)i⃗+2j⃗\vec{u} = (a+1)\vec{i} + 2\vec{j} și v⃗=3i⃗+(b−1)j⃗\vec{v} = 3\vec{i} + (b-1)\vec{j}, unde a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Să se determine aa și bb astfel încât vectorii u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v} să fie perpendiculari și norma lui u⃗\vec{u} să fie egală cu 5.
Mediu#14VectoriSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră vectorii a⃗=i⃗+2j⃗−k⃗\vec{a} = \vec{i} + 2\vec{j} - \vec{k}, b⃗=2i⃗−j⃗+k⃗\vec{b} = 2\vec{i} - \vec{j} + \vec{k}, și c⃗=i⃗+j⃗+mk⃗\vec{c} = \vec{i} + \vec{j} + m\vec{k} în spațiu. Să se determine m∈Rm \in \mathbb{R} astfel încât vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b}, și c⃗\vec{c} să fie coplanari. Apoi, pentru acea valoare a lui mm, să se exprime vectorul d⃗=3i⃗+j⃗+2k⃗\vec{d} = 3\vec{i} + \vec{j} + 2\vec{k} ca o combinație liniară d⃗=αa⃗+βb⃗+γc⃗\vec{d} = \alpha \vec{a} + \beta \vec{b} + \gamma \vec{c}, cu α,β,γ∈R\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}.
Mediu#15VectoriNumere ComplexeGeometrie Analitică
În planul complex, se consideră numerele complexe z1=2+3iz_1 = 2+3i și z2=−1+4iz_2 = -1+4i, reprezentând punctele A și B. a) Determinați vectorul AB⃗\vec{AB} în funcție de i⃗\vec{i} și j⃗\vec{j}. b) Calculați modulul lui z1−z2z_1 - z_2 și interpretați geometric. c) Dacă z3z_3 este un număr complex astfel încât triunghiul cu vârfurile în afixele lui z1,z2,z3z_1, z_2, z_3 este dreptunghic în z3z_3, găsiți z3z_3.

Și alte 132 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Accesează toate cele 147 probleme de Vectori cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.