Probleme ușoare de Vectori

Clasa a 9-a • 165 probleme de nivel ușor

Mediu (147)Toate
Ușor#1VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculăm AB⃗=(4−1)i⃗+(5−1)j⃗=3i⃗+4j⃗\vec{AB} = (4-1)\vec{i} + (5-1)\vec{j} = 3\vec{i} + 4\vec{j} și AC⃗=(7−1)i⃗+(1−1)j⃗=6i⃗+0j⃗\vec{AC} = (7-1)\vec{i} + (1-1)\vec{j} = 6\vec{i} + 0\vec{j}.
23 puncte
Calculăm ∣AB⃗∣=32+42=5|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 și ∣BC⃗∣=(7−4)2+(1−5)2=32+(−4)2=5|\vec{BC}| = \sqrt{(7-4)^2 + (1-5)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5, deci ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|.
34 puncte
Aria triunghiului este 12∣AB⃗×AC⃗∣=12∣3⋅0−4⋅6∣=12⋅24=12\frac{1}{2} | \vec{AB} \times \vec{AC} | = \frac{1}{2} | 3 \cdot 0 - 4 \cdot 6 | = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
u⃗+v⃗=(2−1)i⃗+(−3+4)j⃗=i⃗+j⃗\vec{u} + \vec{v} = (2-1)\vec{i} + (-3+4)\vec{j} = \vec{i} + \vec{j}, u⃗⋅v⃗=2⋅(−1)+(−3)⋅4=−14\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot (-1) + (-3) \cdot 4 = -14.
24 puncte
zu=2−3iz_u = 2 - 3i, zv=−1+4iz_v = -1 + 4i, suma zu+zv=1+iz_u + z_v = 1 + i, care reprezintă vectorul (1,1)(1,1).
33 puncte
Argumentul lui zuz_u este arg⁡(zu)=arctan⁡(−32)\arg(z_u) = \arctan\left(\frac{-3}{2}\right), iar din cadranul IV, argumentul principal este −arctan⁡(32)-\arctan\left(\frac{3}{2}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculăm a⃗+b⃗=(2−1)i⃗+(3+4)j⃗=i⃗+7j⃗\vec{a} + \vec{b} = (2-1)\vec{i} + (3+4)\vec{j} = \vec{i} + 7\vec{j}.
24 puncte
Condiția de perpendicularitate: (a⃗+b⃗)⋅c⃗=0(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0. Avem (1,7)⋅(k,1)=0⇒1⋅k+7⋅1=0⇒k+7=0⇒k=−7(1,7) \cdot (k,1) = 0 \Rightarrow 1 \cdot k + 7 \cdot 1 = 0 \Rightarrow k + 7 = 0 \Rightarrow k = -7.
33 puncte
Aria triunghiului cu vârfurile la origine, a⃗\vec{a} și b⃗\vec{b} este 12∣det⁡(a⃗,b⃗)∣\frac{1}{2} |\det(\vec{a}, \vec{b})|. Coordonatele: a⃗=(2,3)\vec{a} = (2,3), b⃗=(−1,4)\vec{b} = (-1,4), deci det⁡=2⋅4−3⋅(−1)=8+3=11\det = 2 \cdot 4 - 3 \cdot (-1) = 8 + 3 = 11. Aria = 12⋅11=5.5\frac{1}{2} \cdot 11 = 5.5 unități pătrate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4VectoriGeometrie Analitică
Fie vectorii u⃗=3i⃗−j⃗\vec{u} = 3\vec{i} - \vec{j} și v⃗=i⃗+2j⃗\vec{v} = \vec{i} + 2\vec{j} în reperul cartezian xOyxOy. a) Calculați produsul scalar u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} și unghiul dintre u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v}. b) Determinați vectorul w⃗\vec{w} astfel încât 2w⃗−u⃗=v⃗2\vec{w} - \vec{u} = \vec{v}. c) Verificați dacă vectorii u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} și w⃗\vec{w} sunt liniar dependenți.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculăm produsul scalar u⃗⋅v⃗=3⋅1+(−1)⋅2=1\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 = 1. Unghiul θ\theta este dat de cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∣u⃗∣∣v⃗∣=110⋅5=152\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} = \frac{1}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{5\sqrt{2}}, deci θ=arccos⁡(152)\theta = \arccos\left(\frac{1}{5\sqrt{2}}\right).
23 puncte
Din 2w⃗−u⃗=v⃗2\vec{w} - \vec{u} = \vec{v}, avem 2w⃗=u⃗+v⃗=4i⃗+j⃗2\vec{w} = \vec{u} + \vec{v} = 4\vec{i} + \vec{j}, deci w⃗=2i⃗+12j⃗\vec{w} = 2\vec{i} + \frac{1}{2}\vec{j}.
34 puncte
Vectorii u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v}, w⃗\vec{w} sunt liniar dependenți; de exemplu, se poate arăta că determinantul coordonatelor lor este zero sau că w⃗\vec{w} este o combinație liniară de u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie punctele A(1,0,0), B(0,1,0) și C(0,0,1) în spațiu. a) Arătați că triunghiul ABC este isoscel. b) Determinați ecuația planului care conține triunghiul ABC. c) Calculați distanța de la punctul D(0,0,0) la acest plan.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculați vectorii AB⃗=(−1,1,0)\vec{AB} = (-1,1,0) și AC⃗=(−1,0,1)\vec{AC} = (-1,0,1). Arătați că ∣AB⃗∣=(−1)2+12+02=2|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2} și ∣AC⃗∣=(−1)2+02+12=2|\vec{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}, deci triunghiul este isoscel.
23 puncte
Găsiți vectorul normal al planului folosind produsul vectorial: n⃗=AB⃗×AC⃗=∣i⃗j⃗k⃗−110−101∣=(1,1,1)\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (1,1,1). Ecuația planului este x+y+z=1x + y + z = 1.
34 puncte
Calculați distanța de la D(0,0,0) la planul x+y+z−1=0x+y+z-1=0: d=∣0+0+0−1∣12+12+12=13d = \frac{|0+0+0-1|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#6VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
În sistemul cartezian xOy, se consideră vectorii a⃗=2i⃗+j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + \vec{j}, b⃗=−i⃗+3j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 3\vec{j} și c⃗=ki⃗+(k+1)j⃗\vec{c} = k\vec{i} + (k+1)\vec{j}, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗\vec{a} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. b) Pentru kk găsit, calculați modulul vectorului b⃗+c⃗\vec{b} + \vec{c}. c) Aflați aria triunghiului determinat de vectorii a⃗\vec{a} și b⃗\vec{b}.
Ușor#7VectoriGeometrie Analitică
În reperul cartezian xOyxOy, se consideră punctele A(1,2)A(1,2), B(4,6)B(4,6) și C(3,8)C(3,8). Verificați dacă vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC} sunt coliniari și determinați coordonatele unui punct DD astfel încât ABCDABCD să fie un paralelogram.
Ușor#8VectoriGeometrie AnaliticăTrigonometrie
În reperul cartezian xOyxOy, se consideră vectorii u⃗=3i⃗−4j⃗\vec{u} = 3\vec{i} - 4\vec{j} și v⃗=2i⃗+kj⃗\vec{v} = 2\vec{i} + k\vec{j}, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. Determinați valoarea lui kk astfel încât vectorii u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v} să fie perpendiculari. Apoi, calculați unghiul dintre vectorul u⃗\vec{u} și axa OxOx.
Ușor#9VectoriAlgebră și Calcule cu Numere RealeGeometrie Analitică
Fie vectorii a⃗=i⃗+2j⃗+3k⃗\vec{a} = \vec{i} + 2\vec{j} + 3\vec{k} și b⃗=2i⃗−j⃗+k⃗\vec{b} = 2\vec{i} - \vec{j} + \vec{k}. Calculați produsul scalar a⃗⋅b⃗\vec{a} \cdot \vec{b} și produsul vectorial a⃗×b⃗\vec{a} \times \vec{b}. Demonstrați că vectorul a⃗×b⃗\vec{a} \times \vec{b} este perpendicular pe ambii vectori a⃗\vec{a} și b⃗\vec{b}.
Ușor#10VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,2)A(1,2), B(4,6)B(4,6) și C(7,4)C(7,4) în planul raportat la un reper cartezian. Determinați coordonatele punctului DD astfel încât patrulaterul ABCDABCD să fie paralelogram. Calculați lungimea diagonalei ACAC și aria paralelogramului ABCDABCD.
Ușor#11VectoriNumere Complexe
Fie vectorii u⃗=3i⃗+4j⃗\vec{u} = 3\vec{i} + 4\vec{j} și v⃗=i⃗−2j⃗\vec{v} = \vec{i} - 2\vec{j}. Asociați fiecărui vector numărul complex corespunzător: z1=3+4iz_1 = 3+4i pentru u⃗\vec{u} și z2=1−2iz_2 = 1-2i pentru v⃗\vec{v}. Demonstrați că modulul numărului complex z1+z2z_1 + z_2 este egal cu lungimea vectorului sumă u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. Calculați această lungime și modulul, verificând egalitatea.
Ușor#12VectoriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră vectorii a⃗=(m+1)i⃗+2j⃗\vec{a} = (m+1)\vec{i} + 2\vec{j} și b⃗=3i⃗−(m−1)j⃗\vec{b} = 3\vec{i} - (m-1)\vec{j}, unde m∈Rm \in \mathbb{R}. a) Determinați mm astfel încât vectorii a⃗\vec{a} și b⃗\vec{b} să fie ortogonali. b) Pentru m=2m=2, calculați modulul vectorului a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și unghiul dintre a⃗\vec{a} și b⃗\vec{b}.
Ușor#13VectoriGeometrie Analitică
Se consideră punctele A(1,2), B(4,6), C(0,5) în planul cartezian. a) Exprimați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC} în funcție de versorii i⃗\vec{i} și j⃗\vec{j}. b) Calculați produsul scalar AB⃗⋅AC⃗\vec{AB} \cdot \vec{AC} și stabiliți natura triunghiului ABC (dreptunghic, ascuțitunghic sau obtuzunghic). c) Determinați coordonatele punctului D astfel încât patrulaterul ABCD să fie paralelogram.
Ușor#14VectoriTrigonometrie
Fie vectorii u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v} cu ∣u⃗∣=5|\vec{u}| = 5, ∣v⃗∣=12|\vec{v}| = 12, iar unghiul dintre ei θ=60∘\theta = 60^\circ. a) Calculați produsul scalar u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Aflați modulul sumei ∣u⃗+v⃗∣|\vec{u} + \vec{v}|. c) Determinați măsura unghiului α\alpha dintre u⃗\vec{u} și u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}.
Ușor#15VectoriGeometrie Analitică
În reperul cartezian xOyxOy, se consideră punctele A(0,0)A(0,0), B(2,1)B(2,1) și C(−1,2)C(-1,2). a) Calculați coordonatele vectorului AB⃗\vec{AB} și lungimea acestuia. b) Demonstrați că triunghiul ABCABC este dreptunghic. c) Aflați coordonatele punctului DD astfel încât patrulaterul ABCDABCD să fie paralelogram. d) Calculați aria triunghiului ABCABC.

Și alte 150 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Accesează toate cele 165 probleme de Vectori cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.