MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriMatriciLegi de compoziție
Fie mulțimea S={(ab0a)∣a,b∈R}S = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\} cu operațiile de adunare și înmulțire obișnuite pentru matrice. a) Arătați că (S,+,⋅)(S, +, \cdot) este un inel. b) Determinați elementele nilpotente din SS. c) Este SS un corp? Justificați.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se verifică că (S,+)(S, +) este un grup abelian: adunarea matricelor este închisă în SS, asociativă, comutativă, element neutru este (0000)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, iar opusul lui (ab0a)\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix} este (−a−b0−a)∈S\begin{pmatrix} -a & -b \\ 0 & -a \end{pmatrix} \in S.
23 puncte
Înmulțirea matricelor este închisă în SS: (ab0a)(cd0c)=(acad+bc0ac)∈S\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c & d \\ 0 & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ac & ad + bc \\ 0 & ac \end{pmatrix} \in S. Se verifică asociativitatea înmulțirii și distributivitatea față de adunare.
32 puncte
Un element (ab0a)\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix} este nilpotent dacă există n∈N∗n \in \mathbb{N}^* astfel încît (ab0a)n=(0000)\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}. Prin calcul, (ab0a)n=(annan−1b0an)\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} a^n & n a^{n-1} b \\ 0 & a^n \end{pmatrix}, deci este nilpotent dacă și numai dacă a=0a = 0.
42 puncte
SS nu este un corp deoarece există elemente nenule care nu au invers în SS. De exemplu, matricea (0100)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} este nenulă, dar determinantul său este 00, deci nu este inversabilă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.