MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificăm închiderea la adunare și înmulțire. Pentru orice a+b2,c+d2∈Aa+b\sqrt{2}, c+d\sqrt{2} \in A, avem (a+b2)+(c+d2)=(a+c)+(b+d)2∈A(a+b\sqrt{2})+(c+d\sqrt{2})=(a+c)+(b+d)\sqrt{2} \in A și (a+b2)⋅(c+d2)=(ac+2bd)+(ad+bc)2∈A(a+b\sqrt{2})\cdot(c+d\sqrt{2})=(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt{2} \in A, deoarece a,b,c,d∈Za,b,c,d \in \mathbb{Z}.
23 puncte
Verificăm proprietățile algebrice: adunarea și înmulțirea sunt asociative și comutative (urmează din proprietățile numerelor reale). Elementul neutru la adunare este 0=0+02∈A0=0+0\sqrt{2} \in A, iar la înmulțire este 1=1+02∈A1=1+0\sqrt{2} \in A. Fiecare element a+b2a+b\sqrt{2} are opusul −a−b2∈A-a-b\sqrt{2} \in A.
32 puncte
Verificăm distributivitatea: pentru orice x,y,z∈Ax,y,z \in A, avem x⋅(y+z)=x⋅y+x⋅zx\cdot(y+z)=x\cdot y + x\cdot z, ceea ce rezultă din distributivitatea înmulțirii față de adunare în numerele reale.
43 puncte
Pentru a determina dacă AA este corp, verificăm existența inverselor multiplicative pentru elementele nenule. Fie a+b2≠0a+b\sqrt{2} \neq 0; inversul său în numerele reale este a−b2a2−2b2\frac{a-b\sqrt{2}}{a^2-2b^2}. Acest invers aparține lui AA doar dacă aa2−2b2∈Z\frac{a}{a^2-2b^2} \in \mathbb{Z} și −ba2−2b2∈Z\frac{-b}{a^2-2b^2} \in \mathbb{Z}, ceea ce nu este adevărat pentru toate a,b∈Za,b \in \mathbb{Z} cu a2−2b2≠0a^2-2b^2 \neq 0. De exemplu, pentru 2+22+\sqrt{2}, inversul 2−22\frac{2-\sqrt{2}}{2} nu este în AA, deci AA nu este corp.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#2Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#3Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Mediu#4Inele și corpuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea R={a+b3∣a,b∈Z}R = \{a + b\sqrt{3} \mid a, b \in \mathbb{Z}\} cu operațiile de adunare și înmulțire obișnuite. a) Arătați că (R,+,⋅)(R, +, \cdot) este un inel comutativ cu unitate. b) Determinați toate elementele x∈Rx \in R care satisfac ecuația x2−4x+1=0x^2 - 4x + 1 = 0.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.