MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se arată că pentru orice A,B∈MA, B \in M, cu A=(a1b10a1)A = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ 0 & a_1 \end{pmatrix} și B=(a2b20a2)B = \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ 0 & a_2 \end{pmatrix}, suma A+B=(a1+a2b1+b20a1+a2)∈MA+B = \begin{pmatrix} a_1+a_2 & b_1+b_2 \\ 0 & a_1+a_2 \end{pmatrix} \in M, deci MM este închisă la adunare.
22 puncte
Se calculează produsul A⋅B=(a1a2a1b2+b1a20a1a2)∈MA \cdot B = \begin{pmatrix} a_1a_2 & a_1b_2 + b_1a_2 \\ 0 & a_1a_2 \end{pmatrix} \in M, deci MM este închisă la înmulțire.
32 puncte
Se verifică axiomele inelului: adunarea este asociativă și comutativă, elementul neutru aditiv este (0000)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, opusul lui AA este (−a1−b10−a1)\begin{pmatrix} -a_1 & -b_1 \\ 0 & -a_1 \end{pmatrix}, înmulțirea este asociativă, și distributivitatea A⋅(B+C)=A⋅B+A⋅CA \cdot (B+C) = A \cdot B + A \cdot C și (A+B)⋅C=A⋅C+B⋅C(A+B) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C.
42 puncte
Deoarece toate axiomele sunt satisfăcute, (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel (necomutativ, deoarece în general A⋅B≠B⋅AA \cdot B \neq B \cdot A).
52 puncte
Pentru a fi corp, inelul trebuie să fie comutativ și fiecare element nenul să aibă invers multiplicativ. Înmulțirea nu este comutativă (exemplu: pentru A=(1101)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și B=(1001)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, dar A⋅B≠B⋅AA \cdot B \neq B \cdot A în general), deci (M,+,⋅)(M, +, \cdot) nu este corp.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Mediu#4Inele și corpuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea R={a+b3∣a,b∈Z}R = \{a + b\sqrt{3} \mid a, b \in \mathbb{Z}\} cu operațiile de adunare și înmulțire obișnuite. a) Arătați că (R,+,⋅)(R, +, \cdot) este un inel comutativ cu unitate. b) Determinați toate elementele x∈Rx \in R care satisfac ecuația x2−4x+1=0x^2 - 4x + 1 = 0.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.