MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificăm închiderea la adunare și înmulțire. Pentru orice (a,b),(c,d)∈Z×Z(a,b), (c,d) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, suma (a+c,b+d)(a+c, b+d) și produsul (ac−bd,ad+bc)(ac-bd, ad+bc) sunt în Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, deoarece a,b,c,d∈Za,b,c,d \in \mathbb{Z}.
23 puncte
Verificăm proprietățile algebrice: adunarea este asociativă și comutativă (urmează din adunarea întregilor). Elementul neutru la adunare este (0,0)(0,0). Înmulțirea este asociativă și comutativă (se poate verifica prin calcul direct). Elementul neutru la înmulțire este (1,0)(1,0), deoarece (a,b)⋅(1,0)=(a⋅1−b⋅0,a⋅0+b⋅1)=(a,b)(a,b)\cdot(1,0)=(a\cdot1 - b\cdot0, a\cdot0 + b\cdot1)=(a,b).
32 puncte
Verificăm distributivitatea: pentru orice (a,b),(c,d),(e,f)∈Z×Z(a,b), (c,d), (e,f) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, avem (a,b)⋅((c,d)+(e,f))=(a,b)⋅(c,d)+(a,b)⋅(e,f)(a,b)\cdot((c,d)+(e,f)) = (a,b)\cdot(c,d) + (a,b)\cdot(e,f), ceea ce se demonstrează prin calcul explicit.
43 puncte
Pentru a verifica dacă este corp, căutăm inverse multiplicative. Fie (a,b)≠(0,0)(a,b) \neq (0,0); căutăm (x,y)(x,y) astfel încât (a,b)⋅(x,y)=(1,0)(a,b)\cdot(x,y)=(1,0). Acest sistem este: {ax−by=1ay+bx=0\begin{cases} ax - by = 1 \\ ay + bx = 0 \end{cases}. Din a doua ecuație, y=−baxy = -\frac{b}{a}x dacă a≠0a \neq 0, sau se analizează cazuri. Soluțiile în Z\mathbb{Z} există doar dacă a2+b2=1a^2+b^2 = 1 (de exemplu, pentru (1,0)(1,0) inversul este (1,0)(1,0), pentru (0,1)(0,1) inversul este (0,−1)(0,-1)). Pentru alte elemente, cum ar fi (2,0)(2,0), sistemul nu are soluții întregi, deci nu toate elementele nenule au inverse în Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, așadar inelul nu este corp.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#3Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Mediu#4Inele și corpuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea R={a+b3∣a,b∈Z}R = \{a + b\sqrt{3} \mid a, b \in \mathbb{Z}\} cu operațiile de adunare și înmulțire obișnuite. a) Arătați că (R,+,⋅)(R, +, \cdot) este un inel comutativ cu unitate. b) Determinați toate elementele x∈Rx \in R care satisfac ecuația x2−4x+1=0x^2 - 4x + 1 = 0.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.