MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea G={a+bi∣a,b∈Z}G = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Z} \}, unde i2=−1i^2 = -1, cu operațiile obișnuite de adunare și înmulțire a numerelor complexe. Verificați dacă (G,+,⋅)(G, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Găsiți toate elementele z∈Gz \in G astfel încât z2=5z^2 = 5.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se verifică că GG este închisă față de adunare și înmulțire. Adunarea este asociativă și comutativă, cu element neutru 0=0+0i∈G0 = 0 + 0i \in G. Pentru orice a+bi∈Ga+bi \in G, inversul aditiv este −a−bi∈G-a - bi \in G. Înmulțirea este asociativă și comutativă, cu element neutru 1=1+0i∈G1 = 1 + 0i \in G. Se verifică distributivitatea înmulțirii față de adunare. Astfel, (G,+,⋅)(G, +, \cdot) este un inel comutativ cu unitate.
23 puncte
Pentru a verifica dacă este corp, se observă că nu toate elementele nenule au invers multiplicativ în GG. De exemplu, elementul 2=2+0i∈G2 = 2 + 0i \in G are inversul 12∉G\frac{1}{2} \notin G, deoarece 12∉Z\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}. Prin urmare, GG nu este un corp.
34 puncte
Se caută z=a+bi∈Gz = a+bi \in G cu a,b∈Za,b \in \mathbb{Z} astfel încât z2=5z^2 = 5. Avem (a+bi)2=a2−b2+2abi=5+0i(a+bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi = 5 + 0i. Rezultă sistemul: {a2−b2=52ab=0\begin{cases} a^2 - b^2 = 5 \\ 2ab = 0 \end{cases}. Din 2ab=02ab=0, avem a=0a=0 sau b=0b=0. Dacă a=0a=0, atunci −b2=5-b^2=5, deci b2=−5b^2=-5, imposibil în Z\mathbb{Z}. Dacă b=0b=0, atunci a2=5a^2=5, deci a=±5a=\pm\sqrt{5}, nu întreg. Prin urmare, nu există z∈Gz \in G cu z2=5z^2=5.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.