MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriMatrici
Fie inelul SS al matricilor de forma A=(ab0a)A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}, înzestrat cu adunarea și înmulțirea matricilor. a) Demonstrați că SS este un inel comutativ cu unitate. b) Determinați toate matricele X∈SX \in S care satisfac ecuația X2=(4604)X^2 = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se verifică că SS este parte stabilă față de adunare și înmulțire. Adunarea este asociativă, comutativă, are element neutru (0000)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} și fiecare matrice are opusă.
23 puncte
Înmulțirea este asociativă, comutativă, are element neutru (1001)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și este distributivă față de adunare.
33 puncte
Pentru ecuația X2=(4604)X^2 = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}, se consideră X=(ab0a)X = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}. Atunci X2=(a22ab0a2)X^2 = \begin{pmatrix} a^2 & 2ab \\ 0 & a^2 \end{pmatrix}. Se obține sistemul {a2=42ab=6\begin{cases} a^2 = 4 \\ 2ab = 6 \end{cases}. Din prima ecuație, a=±2a = \pm 2. Pentru a=2a=2, 2⋅2⋅b=6⇒b=322 \cdot 2 \cdot b = 6 \Rightarrow b = \frac{3}{2}. Pentru a=−2a=-2, 2⋅(−2)⋅b=6⇒b=−322 \cdot (-2) \cdot b = 6 \Rightarrow b = -\frac{3}{2}. Soluțiile sunt X=(23202)X = \begin{pmatrix} 2 & \frac{3}{2} \\ 0 & 2 \end{pmatrix} și X=(−2−320−2)X = \begin{pmatrix} -2 & -\frac{3}{2} \\ 0 & -2 \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.