MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Fie mulțimea A={a+b3∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{3} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu operațiile de adunare și înmulțire definite ca în R\mathbb{R}. Demonstrați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel. Studiați dacă acest inel este corp și, în caz contrar, caracterizați elementele inversabile.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se verifică închiderea lui AA față de adunare și înmulțire: pentru orice a1+b13,a2+b23∈Aa_1 + b_1\sqrt{3}, a_2 + b_2\sqrt{3} \in A, suma (a1+a2)+(b1+b2)3∈A(a_1+a_2) + (b_1+b_2)\sqrt{3} \in A și produsul (a1a2+3b1b2)+(a1b2+a2b1)3∈A(a_1a_2+3b_1b_2) + (a_1b_2+a_2b_1)\sqrt{3} \in A, deoarece ai,bi∈Za_i, b_i \in \mathbb{Z}. Adunarea este asociativă și comutativă, derivând din proprietățile din R\mathbb{R}.
23 puncte
Se demonstrează existența elementului neutru pentru adunare, 0=0+03∈A0 = 0 + 0\sqrt{3} \in A, și a inversului aditiv: pentru a+b3∈Aa+b\sqrt{3} \in A, inversul este −a−b3∈A-a - b\sqrt{3} \in A. Înmulțirea este asociativă și comutativă în AA, deoarece aceste proprietăți sunt valabile în R\mathbb{R} și operațiile sunt restricționate la AA.
32 puncte
Se verifică distributivitatea înmulțirii față de adunare: pentru orice x,y,z∈Ax,y,z \in A, x(y+z)=xy+xzx(y+z) = xy + xz, ceea ce rezultă din distributivitatea în R\mathbb{R}.
42 puncte
Se concluzionează că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este inel comutativ. Acesta nu este corp deoarece există elemente nenule fără invers, de exemplu 2+032 + 0\sqrt{3}: presupunând că are invers c+d3∈Ac+d\sqrt{3} \in A, ar rezulta 2c=12c=1 și 2d=02d=0, imposibil pentru c,d∈Zc,d \in \mathbb{Z}. Elementele inversabile sunt cele pentru care a2−3b2=±1a^2 - 3b^2 = \pm 1 în Z\mathbb{Z}, deoarece inversul lui a+b3a+b\sqrt{3} este a−b3a2−3b2\frac{a - b\sqrt{3}}{a^2 - 3b^2}, care aparține lui AA dacă și numai dacă numitorul divide aa și bb în Z\mathbb{Z}, condiție echivalentă cu a2−3b2=±1a^2 - 3b^2 = \pm 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.