MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriNumere Complexe
Consideră mulțimea C={a+bi∣a,b∈R}C = \{a + bi \mid a, b \in \mathbb{R}\} a numerelor complexe. Arată că (C,+,⋅)(C, +, \cdot) este un corp. Apoi, folosind proprietățile corpurilor, rezolvă ecuația (1+i)z+(2−i)=3+4i(1+i)z + (2-i) = 3+4i pentru z∈Cz \in C.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
15 puncte
Verificăm axiomele corpului pentru (C,+,⋅)(C, +, \cdot): adunarea și înmulțirea sunt interne și comutative; există elemente neutre 00 și 11; fiecare element a+bia+bi are opus −a−bi-a-bi și, pentru a+bi≠0a+bi \neq 0, invers a−bia2+b2\frac{a-bi}{a^2+b^2}; asociativitatea și distributivitatea sunt satisfăcute.
25 puncte
Rezolvăm ecuația: izolăm zz: (1+i)z=3+4i−(2−i)=1+5i(1+i)z = 3+4i - (2-i) = 1+5i, deci z=1+5i1+iz = \frac{1+5i}{1+i}. Simplificăm: z=(1+5i)(1−i)(1+i)(1−i)=1−i+5i−5i21−i2=1+4i+51+1=6+4i2=3+2iz = \frac{(1+5i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1 - i + 5i -5i^2}{1 - i^2} = \frac{1 +4i +5}{1+1} = \frac{6+4i}{2} = 3+2i.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.