MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriLegi de compoziție
Considerăm inelul Z6\mathbb{Z}_6 al claselor de resturi modulo 6, cu adunarea și înmulțirea modulo 6. Demonstrați că Z6\mathbb{Z}_6 este un inel, dar nu este un corp. Apoi determinați toate elementele din Z6\mathbb{Z}_6 care au inverse multiplicative.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se verifică axiomele inelului pentru Z6\mathbb{Z}_6: adunarea și înmulțirea sunt asociative și comutative (modulo 6), elementul neutru aditiv este 0^\hat{0}, fiecare element a^\hat{a} are invers aditiv 6−a^\hat{6-a}, iar înmulțirea este distributivă față de adunare.
23 puncte
Z6\mathbb{Z}_6 nu este corp deoarece există divizori ai lui zero, de exemplu 2^⋅3^=0^\hat{2} \cdot \hat{3} = \hat{0} cu 2^,3^≠0^\hat{2}, \hat{3} \neq \hat{0}.
34 puncte
Un element a^∈Z6\hat{a} \in \mathbb{Z}_6 are invers multiplicativ dacă și numai dacă gcd⁡(a,6)=1\gcd(a,6)=1. Astfel, elementele cu inverse sunt 1^\hat{1} și 5^\hat{5}, deoarece 1^⋅1^=1^\hat{1} \cdot \hat{1} = \hat{1} și 5^⋅5^=25^=1^(mod6)\hat{5} \cdot \hat{5} = \hat{25} = \hat{1} \pmod{6}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.