MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră mulțimea M={a+b2∣a,b∈Q}M = \{a+b\sqrt{2} \mid a,b \in \mathbb{Q}\}. Se definesc operațiile de adunare și înmulțire în mod obișnuit: (a+b2)+(c+d2)=(a+c)+(b+d)2(a+b\sqrt{2}) + (c+d\sqrt{2}) = (a+c)+(b+d)\sqrt{2} și (a+b2)⋅(c+d2)=(ac+2bd)+(ad+bc)2(a+b\sqrt{2}) \cdot (c+d\sqrt{2}) = (ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt{2}. a) Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp. b) Determinați inversul elementului 3+423+4\sqrt{2} în acest corp.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificarea că (M,+)(M,+) este grup abelian: se arată că adunarea este internă (suma a două elemente din MM este în MM), asociativă, comutativă, are element neutru 0=0+020=0+0\sqrt{2} și fiecare element a+b2a+b\sqrt{2} are opusul −a−b2-a-b\sqrt{2}.
23 puncte
Verificarea că (M∖{0},⋅)(M \setminus \{0\}, \cdot) este grup abelian: se arată că înmulțirea este internă pe M∖{0}M\setminus\{0\} (produsul a două elemente nenule din MM este nenul și în MM), asociativă, comutativă, are element neutru 1=1+021=1+0\sqrt{2}. Pentru existența inversului, fie x=a+b2≠0x=a+b\sqrt{2} \neq 0, atunci a2−2b2≠0a^2-2b^2 \neq 0 (altfel a=b=0a=b=0, contradicție) și inversul este a−b2a2−2b2\frac{a-b\sqrt{2}}{a^2-2b^2}.
32 puncte
Verificarea distributivității: (x+y)z=xz+yz(x+y)z = xz+yz pentru orice x,y,z∈Mx,y,z \in M, care rezultă direct din definițiile operațiilor.
42 puncte
Calculul inversului lui 3+423+4\sqrt{2}: a=3,b=4a=3, b=4, deci a2−2b2=9−2⋅16=9−32=−23a^2-2b^2=9-2\cdot16=9-32=-23. Inversul este 3−42−23=−323+4232\frac{3-4\sqrt{2}}{-23} = -\frac{3}{23}+\frac{4}{23}\sqrt{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.