MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea R={a+b3∣a,b∈Z}R = \{a + b\sqrt{3} \mid a, b \in \mathbb{Z}\} cu operațiile de adunare și înmulțire obișnuite. a) Arătați că (R,+,⋅)(R, +, \cdot) este un inel comutativ cu unitate. b) Determinați toate elementele x∈Rx \in R care satisfac ecuația x2−4x+1=0x^2 - 4x + 1 = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se verifică că RR este închisă față de adunare și înmulțire. Adunarea este asociativă, comutativă, are element neutru 0=0+030 = 0 + 0\sqrt{3} și fiecare element a+b3a + b\sqrt{3} are opusul −a−b3-a - b\sqrt{3}.
23 puncte
Înmulțirea este asociativă, comutativă, are element neutru 1=1+031 = 1 + 0\sqrt{3} și este distributivă față de adunare.
33 puncte
Pentru ecuația x2−4x+1=0x^2 - 4x + 1 = 0, se consideră x=a+b3x = a + b\sqrt{3} cu a,b∈Za,b \in \mathbb{Z}. Se obține (a2+3b2−4a+1)+(2ab−4b)3=0(a^2 + 3b^2 - 4a + 1) + (2ab - 4b)\sqrt{3} = 0, de unde sistemul {a2+3b2−4a+1=02ab−4b=0\begin{cases} a^2 + 3b^2 - 4a + 1 = 0 \\ 2ab - 4b = 0 \end{cases}. Din a doua ecuație, b=0b=0 sau a=2a=2. Pentru b=0b=0, prima ecuație devine a2−4a+1=0a^2 - 4a + 1=0, care nu are soluții întregi. Pentru a=2a=2, se obține 4+3b2−8+1=0⇒3b2=3⇒b2=1⇒b=±14 + 3b^2 - 8 + 1 = 0 \Rightarrow 3b^2 = 3 \Rightarrow b^2 = 1 \Rightarrow b = \pm 1. Soluțiile sunt x=2+3x = 2 + \sqrt{3} și x=2−3x = 2 - \sqrt{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.