MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b3∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{3} \mid a, b \in \mathbb{Z} \}. Se definesc operațiile de adunare și înmulțire astfel: pentru orice x=a+b3,y=c+d3∈Ax = a + b\sqrt{3}, y = c + d\sqrt{3} \in A, x+y=(a+c)+(b+d)3x + y = (a+c) + (b+d)\sqrt{3} și x⋅y=(ac+3bd)+(ad+bc)3x \cdot y = (ac + 3bd) + (ad + bc)\sqrt{3}. Verificați dacă (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel. Este AA un corp? Determinați elementele inversabile din AA.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se verifică că (A,+)(A, +) este grup abelian: operația este închisă (suma a două elemente din AA rămâne în AA), asociativă, elementul neutru este 0=0+030 = 0 + 0\sqrt{3}, iar simetricul lui a+b3a + b\sqrt{3} este (−a)+(−b)3(-a) + (-b)\sqrt{3}.
22 puncte
Se verifică că (A,⋅)(A, \cdot) este monoid: operația este închisă, asociativă, elementul neutru este 1=1+031 = 1 + 0\sqrt{3}.
31 punct
Se verifică distributivitatea: x⋅(y+z)=x⋅y+x⋅zx \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z pentru orice x,y,z∈Ax,y,z \in A.
42 puncte
AA nu este corp deoarece există elemente nenule care nu au invers în AA; de exemplu, 2=2+032 = 2 + 0\sqrt{3} este nenul, dar inversul său 12\frac{1}{2} nu aparține lui AA.
53 puncte
Un element a+b3∈Aa + b\sqrt{3} \in A este inversabil dacă și numai dacă există c+d3∈Ac + d\sqrt{3} \in A astfel încât (a+b3)(c+d3)=1(a + b\sqrt{3})(c + d\sqrt{3}) = 1. Aceasta conduce la sistemul: ac+3bd=1ac + 3bd = 1 și ad+bc=0ad + bc = 0. Rezolvând, se obține c=aa2−3b2c = \frac{a}{a^2 - 3b^2} și d=−ba2−3b2d = \frac{-b}{a^2 - 3b^2}. Pentru ca c,d∈Zc, d \in \mathbb{Z}, este necesar ca a2−3b2a^2 - 3b^2 să dividă aa și bb, ceea ce implică a2−3b2=±1a^2 - 3b^2 = \pm 1. Prin urmare, elementele inversabile sunt cele pentru care a2−3b2=±1a^2 - 3b^2 = \pm 1. Exemple: 1+031 + 0\sqrt{3} (cu 12−3⋅02=11^2 - 3\cdot0^2 = 1), 2+32 + \sqrt{3} (cu 22−3⋅12=12^2 - 3\cdot1^2 = 1), cu inversul 2−32 - \sqrt{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.