MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriPolinoame
Fie F=RF = \mathbb{R} corpul numerelor reale. Considerăm mulțimea R={f(x)=anxn+…+a1x+a0∣ai∈F}R = \{ f(x) = a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0 \mid a_i \in F \} a polinoamelor cu coeficienți reali. Arătați că (R,+,⋅)(R, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea uzuală a polinoamelor. Apoi, demonstrați că elementul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 nu este inversabil în acest inel.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificăm că (R,+)(R, +) este grup abelian: adunarea polinoamelor este asociativă, comutativă, există element neutru (polinomul zero 00) și fiecare polinom f(x)f(x) are opusul −f(x)-f(x).\n
23 puncte
Verificăm proprietățile înmulțirii: asociativitatea (f⋅g)⋅h=f⋅(g⋅h)(f \cdot g) \cdot h = f \cdot (g \cdot h) și distributivitatea față de adunare, f⋅(g+h)=f⋅g+f⋅hf \cdot (g + h) = f \cdot g + f \cdot h și (f+g)⋅h=f⋅h+g⋅h(f + g) \cdot h = f \cdot h + g \cdot h, pentru orice f,g,h∈Rf, g, h \in R.\n
32 puncte
Există element unitate: polinomul constant 11 este neutru pentru înmulțire, deoarece 1⋅f=f⋅1=f1 \cdot f = f \cdot 1 = f pentru orice f∈Rf \in R.\n
42 puncte
Demonstrăm că x2+1x^2 + 1 nu este inversabil: presupunem prin absurd că există g(x)∈Rg(x) \in R astfel încât (x2+1)⋅g(x)=1(x^2 + 1) \cdot g(x) = 1. Atunci, gradul produsului este grad(x2+1x^2 + 1) + grad(g(x)g(x)) = 2 + grad(g(x)g(x)), dar grad(1) = 0, deci 2 + grad(g(x)g(x)) = 0, imposibil deoarece gradul este un număr natural. Așadar, x2+1x^2 + 1 nu are invers în RR.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.