MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriSisteme de Ecuații Liniare
Considerați inelul Zn\mathbb{Z}_n al claselor de resturi modulo nn. Demonstrați că Zn\mathbb{Z}_n este corp dacă și numai dacă nn este prim. Apoi, pentru n=5n=5, rezolvați sistemul de ecuații: {2x+3y=14x+y=2\begin{cases} 2x + 3y = 1 \\ 4x + y = 2 \end{cases} în Z5\mathbb{Z}_5.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Demonstrați echivalența:
  • Dacă Zn\mathbb{Z}_n este corp, fiecare element nenul are invers multiplicativ. Presupunând că nn nu este prim, există a,b∈Za, b \in \mathbb{Z}, 1<a,b<n1 < a,b < n, cu n=abn=ab. Atunci aˉ⋅bˉ=0ˉ\bar{a} \cdot \bar{b} = \bar{0} în Zn\mathbb{Z}_n, dar aˉ≠0ˉ\bar{a} \neq \bar{0} și bˉ≠0ˉ\bar{b} \neq \bar{0}, contradicție cu faptul că într-un corp nu există divizori ai lui zero. Deci nn este prim.
  • Dacă nn este prim, pentru orice aˉ≠0ˉ\bar{a} \neq \bar{0} în Zn\mathbb{Z}_n, aa și nn sunt coprime, deci există u,v∈Zu,v \in \mathbb{Z} cu au+nv=1au + nv = 1, adică aˉ⋅uˉ=1ˉ\bar{a} \cdot \bar{u} = \bar{1}, deci aˉ\bar{a} are invers. Astfel, Zn\mathbb{Z}_n este corp.
26 puncte
Rezolvați sistemul în Z5\mathbb{Z}_5: {2x+3y=14x+y=2\begin{cases} 2x + 3y = 1 \\ 4x + y = 2 \end{cases}. Înmulțiți prima ecuație cu 2 (modulo 5): 4x+6y=24x + 6y = 2, dar 6≡1(mod5)6 \equiv 1 \pmod{5}, deci 4x+y=24x + y = 2, care este identică cu a doua ecuație. Sistemul este dependent. Scădeți a doua ecuație din prima înmulțită: (2x+3y)−(4x+y)=1−2⇒−2x+2y=−1⇒3x+2y=4(2x+3y) - (4x+y) = 1-2 \Rightarrow -2x + 2y = -1 \Rightarrow 3x + 2y = 4 (înmulțind cu -1 și reducând modulo 5). Rezolvați: din a doua ecuație y=2−4xy = 2 - 4x. Înlocuiți în prima: 2x+3(2−4x)=1⇒2x+6−12x=1⇒−10x=−5⇒0⋅x=02x + 3(2-4x) = 1 \Rightarrow 2x + 6 - 12x = 1 \Rightarrow -10x = -5 \Rightarrow 0 \cdot x = 0 (modulo 5), deci xx este liber. Pentru x=3x=3, y=2−4⋅3=2−12=−10≡0(mod5)y = 2 - 4 \cdot 3 = 2 - 12 = -10 \equiv 0 \pmod{5}. Verificați: 2⋅3+3⋅0=6≡12 \cdot 3 + 3 \cdot 0 = 6 \equiv 1, 4⋅3+0=12≡24 \cdot 3 + 0 = 12 \equiv 2. Soluția este x=3,y=0x=3, y=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.