MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriMatriciAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={(ab−ba)∣a,b∈R}A = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Verificați dacă (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se verifică închiderea mulțimii AA față de adunare și înmulțire. Fie M1=(a1b1−b1a1)M_1 = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ -b_1 & a_1 \end{pmatrix} și M2=(a2b2−b2a2)M_2 = \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ -b_2 & a_2 \end{pmatrix}. Atunci M1+M2=(a1+a2b1+b2−(b1+b2)a1+a2)∈AM_1 + M_2 = \begin{pmatrix} a_1+a_2 & b_1+b_2 \\ -(b_1+b_2) & a_1+a_2 \end{pmatrix} \in A și M1⋅M2=(a1a2−b1b2a1b2+a2b1−(a1b2+a2b1)a1a2−b1b2)∈AM_1 \cdot M_2 = \begin{pmatrix} a_1a_2 - b_1b_2 & a_1b_2 + a_2b_1 \\ -(a_1b_2 + a_2b_1) & a_1a_2 - b_1b_2 \end{pmatrix} \in A.
23 puncte
Se verifică axiomele inelului: asociativitatea adunării și înmulțirii (deoarece adunarea și înmulțirea matricelor sunt asociative), comutativitatea adunării (adevărată pentru matrice), și distributivitatea ( M1⋅(M2+M3)=M1⋅M2+M1⋅M3M_1 \cdot (M_2 + M_3) = M_1 \cdot M_2 + M_1 \cdot M_3 etc.).
32 puncte
Elementul neutru la adunare este (0000)∈A\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in A, iar la înmulțire este (1001)∈A\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in A. Fiecare element (ab−ba)\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} are opusul (−a−bb−a)∈A\begin{pmatrix} -a & -b \\ b & -a \end{pmatrix} \in A.
42 puncte
Pentru a verifica dacă este corp, se caută invers multiplicativ pentru elemente nenule. Fie M=(ab−ba)M = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} cu a2+b2≠0a^2 + b^2 \neq 0. Atunci M−1=1a2+b2(a−bba)=(aa2+b2−ba2+b2ba2+b2aa2+b2)M^{-1} = \frac{1}{a^2+b^2} \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{a}{a^2+b^2} & \frac{-b}{a^2+b^2} \\ \frac{b}{a^2+b^2} & \frac{a}{a^2+b^2} \end{pmatrix}. Aceasta are forma (cd−dc)\begin{pmatrix} c & d \\ -d & c \end{pmatrix} cu c=aa2+b2c = \frac{a}{a^2+b^2} și d=−ba2+b2d = \frac{-b}{a^2+b^2}, deci M−1∈AM^{-1} \in A. Astfel, orice element nenul din AA are invers în AA, deci AA este un corp.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.