MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriSisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie inelul Z6\mathbb{Z}_6 cu adunarea și înmulțirea modulo 6. Determinați elementele inversabile în acest inel și verificați dacă Z6\mathbb{Z}_6 este un corp. Apoi, rezolvați ecuația 2x+3=12x + 3 = 1 în Z6\mathbb{Z}_6.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Enumerați elementele lui Z6={0,1,2,3,4,5}\mathbb{Z}_6 = \{0,1,2,3,4,5\} și menționați că adunarea și înmulțirea modulo 6 satisfac proprietățile de inel (asociativitate, comutativitate, distributivitate, element neutru 0 pentru adunare și 1 pentru înmulțire).
23 puncte
Un element a∈Z6a \in \mathbb{Z}_6 este inversabil dacă există b∈Z6b \in \mathbb{Z}_6 cu ab≡1(mod6)ab \equiv 1 \pmod{6}. Verificați pentru fiecare element nenul: 11 (inversul 11), 22 (nu are invers deoarece 2⋅3=0mod  62 \cdot 3 = 0 \mod 6), 33 (nu are invers), 44 (nu are invers), 55 (inversul 55). Deci elementele inversabile sunt 11 și 55.
32 puncte
Z6\mathbb{Z}_6 nu este corp deoarece există elemente nenule (cum ar fi 22) care nu sunt inversabile.
42 puncte
Rezolvați 2x+3=12x + 3 = 1 în Z6\mathbb{Z}_6. Scădeți 33: 2x=1−3=−2≡4mod  62x = 1 - 3 = -2 \equiv 4 \mod 6. Ecuația devine 2x=42x = 4. Deoarece 22 nu are invers, verificați direct valorile lui xx: pentru x=0,1,2,3,4,5x=0,1,2,3,4,5, 2x+32x+3 dă 3,5,1,3,5,13,5,1,3,5,1, deci soluțiile sunt x=2x=2 și x=5x=5.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.