MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b3∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{3} \mid a, b \in \mathbb{Z} \}. Definiți adunarea și înmulțirea pe AA ca operații obișnuite. Demonstrați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ și unitar. Este acesta un corp? Justificați răspunsul.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se arată că adunarea este internă și (A,+)(A, +) este grup abelian, deoarece pentru orice x,y∈Ax,y \in A, x+y∈Ax+y \in A și se verifică proprietățile: asociativitatea, comutativitatea, elementul neutru 0=0+030 = 0 + 0\sqrt{3}, și existența inversului pentru fiecare element.
22 puncte
Se verifică că înmulțirea este internă și asociativă: pentru x,y∈Ax,y \in A, x⋅y∈Ax \cdot y \in A și (x⋅y)⋅z=x⋅(y⋅z)(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z) pentru orice x,y,z∈Ax,y,z \in A.
32 puncte
Se verifică distributivitatea înmulțirii față de adunare: x⋅(y+z)=x⋅y+x⋅zx \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z și (y+z)⋅x=y⋅x+z⋅x(y + z) \cdot x = y \cdot x + z \cdot x pentru orice x,y,z∈Ax,y,z \in A.
42 puncte
Se identifică elementul unitate 1=1+031 = 1 + 0\sqrt{3} și se arată comutativitatea înmulțirii: x⋅y=y⋅xx \cdot y = y \cdot x pentru orice x,y∈Ax,y \in A.
52 puncte
Se discută dacă este corp: considerăm elementul 2=2+03∈A2 = 2 + 0\sqrt{3} \in A, care este nenul. Dacă ar avea invers a+b3∈Aa + b\sqrt{3} \in A, ar trebui să avem (2)(a+b3)=1(2)(a + b\sqrt{3}) = 1, ceea ce implică 2a+2b3=12a + 2b\sqrt{3} = 1, imposibil pentru a,b∈Za,b \in \mathbb{Z}. Deci AA nu este corp.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.