MediuNumere ComplexeClasa 12

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Verificăm proprietățile de corp. Adunarea: pentru a+bi,c+di∈Ka+bi, c+di \in K, suma este (a+c)+(b+d)i(a+c) + (b+d)i, cu a+c,b+d∈Qa+c, b+d \in \mathbb{Q}, deci în KK. Elementul neutru este 0=0+0i∈K0 = 0+0i \in K. Înmulțirea: (a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i, cu ac−bd,ad+bc∈Qac-bd, ad+bc \in \mathbb{Q}, deci în KK. Elementul unitate este 1=1+0i∈K1 = 1+0i \in K. Adunarea și înmulțirea sunt asociative, comutative, și înmulțirea este distributivă față de adunare, deci (K,+,⋅)(K, +, \cdot) este un inel comutativ.
23 puncte
Arătăm că orice element nenul are invers în KK. Fie x=a+bi≠0x = a+bi \neq 0, cu a,b∈Qa,b \in \mathbb{Q}. Atunci x−1=a−bia2+b2=aa2+b2+−ba2+b2ix^{-1} = \frac{a-bi}{a^2+b^2} = \frac{a}{a^2+b^2} + \frac{-b}{a^2+b^2}i. Deoarece a2+b2∈Q∖{0}a^2+b^2 \in \mathbb{Q} \setminus \{0\}, avem aa2+b2,−ba2+b2∈Q\frac{a}{a^2+b^2}, \frac{-b}{a^2+b^2} \in \mathbb{Q}, deci x−1∈Kx^{-1} \in K. Astfel, KK este un corp.
33 puncte
Rezolvăm x2=−1x^2 = -1 în KK. Fie x=a+bix = a+bi cu a,b∈Qa,b \in \mathbb{Q}. Atunci x2=(a2−b2)+2abi=−1=−1+0ix^2 = (a^2 - b^2) + 2abi = -1 = -1 + 0i. Obținem sistemul: {a2−b2=−12ab=0\begin{cases} a^2 - b^2 = -1 \\ 2ab = 0 \end{cases}. Din 2ab=02ab=0, avem a=0a=0 sau b=0b=0. Dacă a=0a=0, atunci −b2=−1⇒b2=1⇒b=±1∈Q-b^2 = -1 \Rightarrow b^2 = 1 \Rightarrow b = \pm 1 \in \mathbb{Q}. Dacă b=0b=0, atunci a2=−1a^2 = -1, imposibil în Q\mathbb{Q}. Deci soluțiile sunt x=ix = i și x=−ix = -i.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Greu#1Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#2Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#3Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Greu#4Numere Complexe
Fie z∈C∖{0}z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} cu ∣z∣=2|z| = 2. a) Demonstrați că ∣z+4z∣≥4\left| z + \frac{4}{z} \right| \geq 4. b) Determinați zz pentru care are loc egalitatea. c) Fie w=z+4zw = z + \frac{4}{z}. Demonstrați că dacă ℜ(w)=0\Re(w) = 0, atunci ∣ℑ(w)∣≥43|\Im(w)| \geq 4\sqrt{3}.
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.