GreuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

GreuNumere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Din ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 avem z1ˉ=1z1\bar{z_1} = \frac{1}{z_1} și z2ˉ=1z2\bar{z_2} = \frac{1}{z_2}. Din z1+z2=1z_1 + z_2 = 1 și conjugată z1ˉ+z2ˉ=1\bar{z_1} + \bar{z_2} = 1, înmulțind: z1z2+1=z1+z2=1z_1 z_2 + 1 = z_1 + z_2 = 1, deci z1z2=1z_1 z_2 = 1.
22 puncte
Din z1z2=1z_1 z_2 = 1 și ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1, rezultă z2=1z1=z1ˉz_2 = \frac{1}{z_1} = \bar{z_1}. Înlocuind în z1+z2=1z_1 + z_2 = 1: z1+z1ˉ=2ℜ(z1)=1z_1 + \bar{z_1} = 2\Re(z_1) = 1, deci ℜ(z1)=12\Re(z_1) = \frac{1}{2}.
32 puncte
Cum ∣z1∣=1|z_1| = 1, avem ℑ(z1)=±32\Im(z_1) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}. Deci z1=cos⁡π3+isin⁡π3z_1 = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} sau z1=cos⁡π3−isin⁡π3z_1 = \cos \frac{\pi}{3} - i \sin \frac{\pi}{3}, iar z2=z1ˉz_2 = \bar{z_1}.
42 puncte
z1z2=z12\frac{z_1}{z_2} = z_1^2 deoarece z2=z1ˉ=1z1z_2 = \bar{z_1} = \frac{1}{z_1}. Atunci (z1z2)2024=z14048\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} = z_1^{4048}.
52 puncte
z1=cos⁡π3±isin⁡π3z_1 = \cos \frac{\pi}{3} \pm i \sin \frac{\pi}{3}, deci z14048=cos⁡4048π3+isin⁡4048π3=cos⁡4π3+isin⁡4π3z_1^{4048} = \cos \frac{4048\pi}{3} + i \sin \frac{4048\pi}{3} = \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} (deoarece 4048mod  6=44048 \mod 6 = 4). Analog (z2z1)2024=z24048=z1ˉ4048=z14048‾\left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024} = z_2^{4048} = \bar{z_1}^{4048} = \overline{z_1^{4048}}. Suma este 2ℜ(z14048)=2cos⁡4π3=−12\Re(z_1^{4048}) = 2\cos \frac{4\pi}{3} = -1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#3Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Greu#4Numere Complexe
Fie z∈C∖{0}z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} cu ∣z∣=2|z| = 2. a) Demonstrați că ∣z+4z∣≥4\left| z + \frac{4}{z} \right| \geq 4. b) Determinați zz pentru care are loc egalitatea. c) Fie w=z+4zw = z + \frac{4}{z}. Demonstrați că dacă ℜ(w)=0\Re(w) = 0, atunci ∣ℑ(w)∣≥43|\Im(w)| \geq 4\sqrt{3}.
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.