GreuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

GreuNumere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
∣1+z∣2=(1+z)(1+zˉ)=1+z+zˉ+∣z∣2=2+2ℜ(z)|1+z|^2 = (1+z)(1+\bar{z}) = 1 + z + \bar{z} + |z|^2 = 2 + 2\Re(z). Similar ∣1−z∣2=2−2ℜ(z)|1-z|^2 = 2 - 2\Re(z). Suma este 44.
22 puncte
∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2} implică ∣1+z∣2=2|1+z|^2 = 2, deci 2+2ℜ(z)=22 + 2\Re(z) = 2, adică ℜ(z)=0\Re(z) = 0. Dar ∣z∣=1|z| = 1, deci z=iz = i sau z=−iz = -i (dar arg⁡(z)∈(0,π/2)\arg(z) \in (0, \pi/2) exclude −i-i). Locul geometric este punctul M(i)M(i).
32 puncte
Triunghiul are vârfurile O(0)O(0), A(z)A(z), B(1/z)B(1/z). Cum ∣z∣=1|z| = 1, 1/z=zˉ1/z = \bar{z}. Aria S=12∣det⁡(OA→,OB→)∣=12∣ℑ(z⋅zˉ‾)∣=12∣ℑ(z2)∣S = \frac{1}{2} |\det(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB})| = \frac{1}{2} |\Im(z \cdot \overline{\bar{z}})| = \frac{1}{2} |\Im(z^2)|.
42 puncte
Fie z=cos⁡θ+isin⁡θz = \cos \theta + i \sin \theta, cu θ∈(0,π/2)\theta \in (0, \pi/2). Atunci z2=cos⁡2θ+isin⁡2θz^2 = \cos 2\theta + i \sin 2\theta, deci ℑ(z2)=sin⁡2θ\Im(z^2) = \sin 2\theta.
52 puncte
Aria S=12∣sin⁡2θ∣S = \frac{1}{2} |\sin 2\theta|. Maximul lui sin⁡2θ\sin 2\theta pe (0,π/2)(0, \pi/2) este 11 (pentru θ=π/4\theta = \pi/4). Deci aria maximă este 12\frac{1}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Greu#4Numere Complexe
Fie z∈C∖{0}z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} cu ∣z∣=2|z| = 2. a) Demonstrați că ∣z+4z∣≥4\left| z + \frac{4}{z} \right| \geq 4. b) Determinați zz pentru care are loc egalitatea. c) Fie w=z+4zw = z + \frac{4}{z}. Demonstrați că dacă ℜ(w)=0\Re(w) = 0, atunci ∣ℑ(w)∣≥43|\Im(w)| \geq 4\sqrt{3}.
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.