GreuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

GreuNumere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
A2=(i1−1−i)(i1−1−i)=(i2−1i−i−i+i−1−i2)=(−200−2)=−2I2A^2 = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i^2 - 1 & i - i \\ -i + i & -1 - i^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} = -2I_2.
22 puncte
A3=A⋅A2=A⋅(−2I2)=−2AA^3 = A \cdot A^2 = A \cdot (-2I_2) = -2A.
32 puncte
Prin inducție: pentru n=1n=1, A1=i0A=AA^1 = i^0 A = A. Presupunem Ak=ik−1AA^k = i^{k-1} A. Atunci Ak+1=A⋅Ak=A⋅ik−1A=ik−1A2=ik−1(−2I2)=−2ik−1I2A^{k+1} = A \cdot A^k = A \cdot i^{k-1} A = i^{k-1} A^2 = i^{k-1} (-2I_2) = -2 i^{k-1} I_2. Dar ikA=ikAi^{k} A = i^k A. Verificăm că −2ik−1I2=ikA-2 i^{k-1} I_2 = i^k A? Nu, corect: A2=−2I2A^2 = -2I_2, deci Ak+1=ik−1(−2I2)=−2ik−1I2A^{k+1} = i^{k-1} (-2I_2) = -2 i^{k-1} I_2. Observăm că A3=−2A=i2AA^3 = -2A = i^2 A, deci An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru nn impar, și An=(−2)n/2I2A^n = (-2)^{n/2} I_2 pentru nn par. Mai precis: pentru n=2mn=2m, A2m=(−2)mI2A^{2m} = (-2)^m I_2; pentru n=2m+1n=2m+1, A2m+1=(−2)mAA^{2m+1} = (-2)^m A.
42 puncte
2025 este impar (2025 = 2*1012 + 1), deci A2025=(−2)1012AA^{2025} = (-2)^{1012} A. 2024 este par, deci A2024=(−2)1012I2A^{2024} = (-2)^{1012} I_2.
52 puncte
A2025+A2024=(−2)1012(A+I2)=(−2)1012(i+11−1−i+1)A^{2025} + A^{2024} = (-2)^{1012} (A + I_2) = (-2)^{1012} \begin{pmatrix} i+1 & 1 \\ -1 & -i+1 \end{pmatrix}. Determinantul: det⁡=[(−2)1012]2⋅det⁡(i+11−11−i)=22024⋅[(i+1)(1−i)−(1)(−1)]=22024⋅[2−(−1)]=22024⋅3\det = [(-2)^{1012}]^2 \cdot \det \begin{pmatrix} i+1 & 1 \\ -1 & 1-i \end{pmatrix} = 2^{2024} \cdot [(i+1)(1-i) - (1)(-1)] = 2^{2024} \cdot [2 - (-1)] = 2^{2024} \cdot 3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie z∈C∖{0}z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} cu ∣z∣=2|z| = 2. a) Demonstrați că ∣z+4z∣≥4\left| z + \frac{4}{z} \right| \geq 4. b) Determinați zz pentru care are loc egalitatea. c) Fie w=z+4zw = z + \frac{4}{z}. Demonstrați că dacă ℜ(w)=0\Re(w) = 0, atunci ∣ℑ(w)∣≥43|\Im(w)| \geq 4\sqrt{3}.
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.