MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriMatriciCombinatorică
Fie Z2={0,1}\mathbb{Z}_2 = \{0, 1\} corpul cu două elemente, unde adunarea și înmulțirea sunt definite modulo 2. Considerăm mulțimea M=M2(Z2)M = M_2(\mathbb{Z}_2) a matricilor pătratice de ordin 2 cu elemente din Z2\mathbb{Z}_2. Pe MM se consideră adunarea și înmulțirea matricilor obișnuite (cu operațiile din Z2\mathbb{Z}_2). a) Determinați numărul de elemente ale lui MM. b) Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. c) Este MM un corp? Justificați. d) Determinați elementele nilpotente din MM, adică matricele X∈MX \in M pentru care există n∈N∗n \in \mathbb{N}^* astfel încât Xn=0X^n = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
11 punct
Numărul de elemente ale lui MM este 22×2=24=162^{2 \times 2} = 2^4 = 16, deoarece fiecare dintre cele 4 intrări ale matricei poate fi 0 sau 1.
24 puncte
Se verifică axiomele inelului: (M,+)(M, +) este grup abelian (adunarea matricilor este asociativă, comutativă, elementul neutru este matricea zero (0000)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, iar opusa unei matrice este matricea cu elementele opuse modulo 2); (M,⋅)(M, \cdot) este monoid (înmulțirea matricilor este asociativă, elementul neutru este matricea identitate (1001)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}); distributivitatea înmulțirii față de adunare.
32 puncte
MM nu este corp deoarece nu toate elementele nenule sunt inversabile; de exemplu, matricea (1000)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} este nenulă, dar determinantul ei este 0, deci nu are inversă în MM.
43 puncte
Pentru a găsi matricele nilpotente, se consideră toate cele 16 matrice. Se calculează X2X^2 pentru fiecare. Dacă X2=0X^2 = 0, atunci XX este nilpotentă. Matricele care satisfac X2=0X^2 = 0 sunt: (0000)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, (0100)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, (0010)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, (1111)\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}. Se pot verifica și alte puteri, dar pentru aceste matrice, X2=0X^2 = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.