MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriLegi de compoziție
Fie mulțimea R={a+b2∣a,b∈Z}R = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu operațiile obișnuite de adunare și înmulțire a numerelor reale. Demonstrați că (R,+,⋅)(R, +, \cdot) este un inel. Determinați elementele inversabile ale acestui inel.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Arătați că RR este închisă față de adunare și înmulțire. Pentru orice a+b2,c+d2∈Ra+b\sqrt{2}, c+d\sqrt{2} \in R, suma (a+c)+(b+d)2∈R(a+c) + (b+d)\sqrt{2} \in R și produsul (ac+2bd)+(ad+bc)2∈R(ac+2bd) + (ad+bc)\sqrt{2} \in R.
24 puncte
Verificați axiomele inelului: adunarea este asociativă și comutativă, există element neutru 0=0+020 = 0+0\sqrt{2}, fiecare element are invers aditiv, înmulțirea este asociativă și comutativă, există element neutru 1=1+021 = 1+0\sqrt{2}, și înmulțirea este distributivă față de adunare.
34 puncte
Determinați elementele inversabile. Un element a+b2∈Ra+b\sqrt{2} \in R este inversabil dacă există c+d2∈Rc+d\sqrt{2} \in R astfel încât (a+b2)(c+d2)=1(a+b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2}) = 1. Aceasta implică (ac+2bd)+(ad+bc)2=1(ac+2bd) + (ad+bc)\sqrt{2} = 1, deci ac+2bd=1ac+2bd = 1 și ad+bc=0ad+bc = 0. Rezolvând în Z\mathbb{Z}, obținem că a+b2a+b\sqrt{2} este inversabil dacă a2−2b2=±1a^2 - 2b^2 = \pm 1. Elementele inversabile sunt cele cu a2−2b2=±1a^2 - 2b^2 = \pm 1, de exemplu 1,−1,3+221, -1, 3+2\sqrt{2}, etc.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.