MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z}\}. Verificați dacă (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel și dacă este un corp.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificarea închiderii la adunare și înmulțire. Pentru orice x,y∈Ax, y \in A, cu x=a1+b12x = a_1 + b_1\sqrt{2} și y=a2+b22y = a_2 + b_2\sqrt{2}, avem x+y=(a1+a2)+(b1+b2)2∈Ax+y = (a_1+a_2) + (b_1+b_2)\sqrt{2} \in A și x⋅y=(a1a2+2b1b2)+(a1b2+a2b1)2∈Ax \cdot y = (a_1a_2 + 2b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)\sqrt{2} \in A.
22 puncte
Verificarea asociativității și comutativității adunării și înmulțirii. Aceste proprietăți decurg direct din proprietățile adunării și înmulțirii numerelor reale, deoarece operațiile pe AA sunt definite prin formulele standard.
32 puncte
Verificarea existenței elementului neutru pentru adunare și a inversului aditiv. Elementul neutru este 0=0+02∈A0 = 0 + 0\sqrt{2} \in A. Pentru orice x=a+b2∈Ax = a + b\sqrt{2} \in A, inversul aditiv este −a−b2∈A-a - b\sqrt{2} \in A.
41 punct
Verificarea distributivității înmulțirii față de adunare. Pentru orice x,y,z∈Ax, y, z \in A, avem x(y+z)=xy+xzx(y+z) = xy + xz, ceea ce se verifică folosind definițiile operațiilor.
53 puncte
Verificarea dacă AA este corp. Trebuie arătat că orice element nenul din AA are invers multiplicativ în AA. Fie x=a+b2≠0x = a + b\sqrt{2} \neq 0. Inversul său în numerele reale este a−b2a2−2b2\frac{a - b\sqrt{2}}{a^2 - 2b^2}, dar acesta aparține lui AA doar dacă aa2−2b2∈Z\frac{a}{a^2 - 2b^2} \in \mathbb{Z} și −ba2−2b2∈Z\frac{-b}{a^2 - 2b^2} \in \mathbb{Z}, ceea ce nu este întotdeauna adevărat. De exemplu, pentru x=2x=2 (adică a=2,b=0a=2, b=0), inversul este 1/2∉A1/2 \notin A. Prin urmare, AA nu este corp.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.