MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie inelul Z11\mathbb{Z}_{11} cu operațiile de adunare și înmulțire modulo 11. a) Arătați că Z11\mathbb{Z}_{11} este un corp. b) Determinați inversul elementului 55 în acest corp. c) Rezolvați ecuația 3x+7=23x + 7 = 2 în Z11\mathbb{Z}_{11}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Definiți operațiile în Z11\mathbb{Z}_{11} și verificați proprietățile de inel comutativ cu unitate: adunarea și înmulțirea sunt asociative, comutative, au element neutru (0 pentru adunare, 1 pentru înmulțire), fiecare element are simetric la adunare, și înmulțirea este distributivă față de adunare.
23 puncte
Demonstrați că Z11\mathbb{Z}_{11} este corp arătând că orice element nenul a∈Z11a \in \mathbb{Z}_{11} are invers multiplicativ; deoarece 11 este prim, pentru a≠0a \neq 0, există bb cu ab≡1(mod11)ab \equiv 1 \pmod{11} folosind algoritmul lui Euclid extins.
32 puncte
Găsiți inversul lui 5: rezolvați 5b≡1(mod11)5b \equiv 1 \pmod{11}; soluția este b=9b=9, deoarece 5⋅9=45≡1(mod11)5 \cdot 9 = 45 \equiv 1 \pmod{11}.
42 puncte
Rezolvați ecuația 3x+7≡2(mod11)3x + 7 \equiv 2 \pmod{11}: scădeți 7 obținând 3x≡−5≡6(mod11)3x \equiv -5 \equiv 6 \pmod{11}, apoi înmulțiți cu inversul lui 3 (care este 4, deoarece 3⋅4=12≡1(mod11)3 \cdot 4 = 12 \equiv 1 \pmod{11}) pentru a obține x≡4⋅6=24≡2(mod11)x \equiv 4 \cdot 6 = 24 \equiv 2 \pmod{11}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.