MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriMatriciDeterminanți
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈Z}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{Z} \right\}. Determinați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este inel și dacă este corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificarea că (M,+)(M, +) este grup abelian – se arată că suma a două matrice din MM rămâne în MM (deoarece sumele de numere întregi sunt întregi), elementul neutru este matricea nulă (0000)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} (care aparține lui MM), există opusul, și adunarea este asociativă și comutativă.
23 puncte
Verificarea închiderii și a asociativității pentru înmulțire – se calculează produsul a două matrice din MM: (a1b10c1)⋅(a2b20c2)=(a1a2a1b2+b1c20c1c2)\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ 0 & c_1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ 0 & c_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 a_2 & a_1 b_2 + b_1 c_2 \\ 0 & c_1 c_2 \end{pmatrix}, care aparține lui MM deoarece a1a2,a1b2+b1c2,c1c2∈Za_1 a_2, a_1 b_2 + b_1 c_2, c_1 c_2 \in \mathbb{Z}; înmulțirea matricelor este asociativă în general.
32 puncte
Verificarea distributivității – înmulțirea matricelor este distributivă față de adunare, deoarece aceasta este proprietate generală a matricelor.
42 puncte
Analiza dacă este corp – pentru a fi corp, inelul trebuie să fie comutativ și fiecare element nenul să aibă invers; înmulțirea matricelor din MM nu este comutativă (de exemplu, se pot găsi contraexemple), deci MM nu este inel comutativ și nu poate fi corp; în plus, elementele din MM cu determinant nul (de exemplu, (0b00)\begin{pmatrix} 0 & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix}) nu au inverse în MM, chiar dacă ar exista matrice inverse, acestea ar putea nu avea elemente întregi.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.