MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriSisteme de Ecuații Liniare
Fie inelul (Z6,+,⋅)(\mathbb{Z}_6, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 6. a) Arătați că (Z6,+,⋅)(\mathbb{Z}_6, +, \cdot) nu este un corp. b) Rezolvați în Z6\mathbb{Z}_6 sistemul de ecuații: {2x+y=3x+3y=1\begin{cases} 2x + y = 3 \\ x + 3y = 1 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Definiți noțiunea de corp ca inel comutativ cu unitate în care fiecare element nenul are invers multiplicativ. Pentru Z6\mathbb{Z}_6, observați că elementele ca 2 și 3 sunt divizori ai lui zero deoarece 2⋅3=02 \cdot 3 = 0, deci nu au inverse, așadar Z6\mathbb{Z}_6 nu este corp.
24 puncte
Rezolvați sistemul. Din a doua ecuație, x=1−3yx = 1 - 3y. Înlocuiți în prima: 2(1−3y)+y=3⇒2−6y+y=3⇒2−5y=32(1 - 3y) + y = 3 \Rightarrow 2 - 6y + y = 3 \Rightarrow 2 - 5y = 3. În Z6\mathbb{Z}_6, −5≡1(mod6)-5 \equiv 1 \pmod{6}, deci 2+y=3⇒y=12 + y = 3 \Rightarrow y = 1. Atunci x=1−3⋅1=1−3=−2≡4(mod6)x = 1 - 3 \cdot 1 = 1 - 3 = -2 \equiv 4 \pmod{6}. Verificați: pentru x=4,y=1x=4, y=1, prima ecuație dă 2⋅4+1=8+1=9≡32 \cdot 4 + 1 = 8 + 1 = 9 \equiv 3, iar a doua dă 4+3⋅1=4+3=7≡14 + 3 \cdot 1 = 4 + 3 = 7 \equiv 1. Soluția este (x,y)=(4,1)(x,y) = (4,1).
33 puncte
Discutați unicitatea soluției. Matricea coeficienților este (2113)\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, cu determinantul 2⋅3−1⋅1=52 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 5, care în Z6\mathbb{Z}_6 este inversabil deoarece 5⋅5=25≡1(mod6)5 \cdot 5 = 25 \equiv 1 \pmod{6}, deci sistemul are soluție unică, ilustrând cum structura de inel afectează rezolvarea.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.