MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriMatrici
Fie mulțimea M={(ab0a)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel comutativ. Este MM corp? Determinați elementele inversabile din MM.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se verifică stabilitatea la adunare și înmulțire: pentru (a1b10a1),(a2b20a2)∈M\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ 0 & a_1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ 0 & a_2 \end{pmatrix} \in M, suma (a1+a2b1+b20a1+a2)∈M\begin{pmatrix} a_1+a_2 & b_1+b_2 \\ 0 & a_1+a_2 \end{pmatrix} \in M și produsul (a1a2a1b2+b1a20a1a2)∈M\begin{pmatrix} a_1a_2 & a_1b_2 + b_1a_2 \\ 0 & a_1a_2 \end{pmatrix} \in M. Adunarea este asociativă, comutativă, are element neutru (0000)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} și fiecare matrice are opusul (−a−b0−a)∈M\begin{pmatrix} -a & -b \\ 0 & -a \end{pmatrix} \in M.
23 puncte
Înmulțirea matricelor este asociativă (proprietate generală). Se verifică comutativitatea: (a1b10a1)⋅(a2b20a2)=(a1a2a1b2+b1a20a1a2)=(a2b20a2)⋅(a1b10a1)\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ 0 & a_1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ 0 & a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1a_2 & a_1b_2+b_1a_2 \\ 0 & a_1a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ 0 & a_2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ 0 & a_1 \end{pmatrix}. Elementul neutru este (1001)∈M\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in M. Distributivitatea se verifică folosind proprietățile matricelor.
32 puncte
Din pașii anteriori, (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este inel comutativ. MM nu este corp, deoarece există divizori ai lui zero: de exemplu, pentru a=0,b≠0a=0, b\neq 0, matricea (0b00)≠0\begin{pmatrix} 0 & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0 și (0100)⋅(0100)=(0000)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.
42 puncte
Un element (ab0a)∈M\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix} \in M este inversabil dacă și numai dacă a≠0a \neq 0, deoarece determinantul este a2≠0a^2 \neq 0. Inversa este (1a−ba201a)∈M\begin{pmatrix} \frac{1}{a} & -\frac{b}{a^2} \\ 0 & \frac{1}{a} \end{pmatrix} \in M, deci mulțimea elementelor inversabile este {(ab0a)∣a,b∈R,a≠0}\left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R}, a \neq 0 \right\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.