MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriMatrici
Fie RR mulțimea matricelor de forma (ab0c)\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} cu a,b,c∈Z2a, b, c \in \mathbb{Z}_2 (corpul cu două elemente, unde adunarea și înmulțirea sunt modulo 2). a) Arătați că RR cu adunarea și înmulțirea matricelor este un inel. b) Este RR un corp? Justificați. c) Determinați toate elementele inversabile din RR și calculați inversul pentru (1101)\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Verificăm proprietățile inelului: adunarea matricelor este închisă, deoarece suma a două matrice din RR are forma (a+xb+y0c+z)\begin{pmatrix} a+x & b+y \\ 0 & c+z \end{pmatrix} cu a,b,c,x,y,z∈Z2a,b,c,x,y,z \in \mathbb{Z}_2, deci aparține lui RR; este asociativă, comutativă, are element neutru (0000)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, iar inversul pentru (ab0c)\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} este (ab0c)\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} în Z2\mathbb{Z}_2 (deoarece −a=a-a = a modulo 2). Înmulțirea este închisă: (ab0c)(xy0z)=(axay+bz0cz)∈R\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ 0 & z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax & ay+bz \\ 0 & cz \end{pmatrix} \in R, este asociativă, iar distributivitatea față de adunare se verifică prin calcul.
23 puncte
RR nu este corp deoarece există divizori ai lui zero; de exemplu, (0100)(0001)=(0000)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, chiar dacă ambele matrice sunt nenule.
33 puncte
Elementele inversabile din RR sunt cele pentru care matricea este inversabilă, adică determinantul este nenul în Z2\mathbb{Z}_2. Determinantul este acac, deci trebuie a≠0a \neq 0 și c≠0c \neq 0, adică a=c=1a=c=1. Astfel, elementele inversabile sunt (1001)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și (1101)\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Pentru (1101)\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, inversul este (1101)\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} deoarece (1101)(1101)=(1001)\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.