MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
În inelul Z6\mathbb{Z}_6 (întregi modulo 6), găsiți toate elementele inversabile (unități) și toate divizorii lui zero. Apoi rezolvați ecuația 2x=42x = 4 în Z6\mathbb{Z}_6.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se listează elementele lui Z6={0,1,2,3,4,5}\mathbb{Z}_6 = \{0,1,2,3,4,5\}. Un element aa este inversabil dacă gcd⁡(a,6)=1\gcd(a,6)=1. Astfel, se calculează: gcd⁡(1,6)=1\gcd(1,6)=1, gcd⁡(5,6)=1\gcd(5,6)=1, iar pentru celelalte, gcd⁡(0,6)=6\gcd(0,6)=6, gcd⁡(2,6)=2\gcd(2,6)=2, gcd⁡(3,6)=3\gcd(3,6)=3, gcd⁡(4,6)=2\gcd(4,6)=2. Deci unitățile sunt 11 și 55.
23 puncte
Divizorii lui zero sunt elementele a≠0a \neq 0 pentru care există b≠0b \neq 0 cu a⋅b=0mod  6a \cdot b = 0 \mod 6. Se verifică perechile: 2⋅3=6≡0mod  62 \cdot 3 = 6 \equiv 0 \mod 6, 3⋅4=12≡0mod  63 \cdot 4 = 12 \equiv 0 \mod 6, 4⋅3=12≡0mod  64 \cdot 3 = 12 \equiv 0 \mod 6. Deci divizorii lui zero sunt 2,3,42,3,4 (observând că și 2⋅0=02 \cdot 0 = 0, dar zero nu este considerat divizor propriu).
34 puncte
Pentru ecuația 2x=42x = 4 în Z6\mathbb{Z}_6, se testează toate valorile posibile ale lui xx din Z6\mathbb{Z}_6: 2⋅0=0≠42 \cdot 0 = 0 \neq 4, 2⋅1=2≠42 \cdot 1 = 2 \neq 4, 2⋅2=4≡42 \cdot 2 = 4 \equiv 4, 2⋅3=6≡0≠42 \cdot 3 = 6 \equiv 0 \neq 4, 2⋅4=8≡2≠42 \cdot 4 = 8 \equiv 2 \neq 4, 2⋅5=10≡42 \cdot 5 = 10 \equiv 4. Deci soluțiile sunt x=2x = 2 și x=5x = 5.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.