MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriAlgebră și Calcule cu Numere RealeLegi de compoziție
Considerăm mulțimea M={a+b2∣a,b∈Q}M = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Q} \} cu operațiile uzuale de adunare și înmulțire de numere reale. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Definim mulțimea M={a+b2∣a,b∈Q}M = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Q} \} și operațiile de adunare și înmulțire obișnuite.
23 puncte
Arătăm că (M,+)(M, +) este grup abelian: adunarea este internă, deoarece (a+b2)+(c+d2)=(a+c)+(b+d)2∈M(a + b\sqrt{2}) + (c + d\sqrt{2}) = (a+c) + (b+d)\sqrt{2} \in M; este asociativă și comutativă; elementul neutru este 0=0+020 = 0 + 0\sqrt{2}; pentru orice a+b2∈Ma + b\sqrt{2} \in M, opusul este −a−b2∈M-a - b\sqrt{2} \in M.
33 puncte
Arătăm că (M∖{0},⋅)(M \setminus \{0\}, \cdot) este grup abelian: înmulțirea este internă, (a+b2)⋅(c+d2)=(ac+2bd)+(ad+bc)2∈M(a + b\sqrt{2}) \cdot (c + d\sqrt{2}) = (ac + 2bd) + (ad + bc)\sqrt{2} \in M; este asociativă și comutativă; elementul neutru este 1=1+021 = 1 + 0\sqrt{2}; pentru orice a+b2≠0a + b\sqrt{2} \neq 0, inversul este a−b2a2−2b2\frac{a - b\sqrt{2}}{a^2 - 2b^2}, care aparține lui MM deoarece a2−2b2≠0a^2 - 2b^2 \neq 0 când a,b∈Qa,b \in \mathbb{Q} și nu ambele zero, și aa2−2b2,−ba2−2b2∈Q\frac{a}{a^2 - 2b^2}, \frac{-b}{a^2 - 2b^2} \in \mathbb{Q}.
42 puncte
Deoarece adunarea și înmulțirea sunt distributive, conform definiției, concluzionăm că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.