MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea S={a+b2∣a,b∈Z}S = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} împreună cu operațiile obișnuite de adunare și înmulțire. Verificați dacă (S,+,⋅)(S, +, \cdot) este un inel și dacă este un corp.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se verifică că (S, +) este un grup abelian: adunarea este internă (suma a două elemente din S rămâne în S), asociativă, are element neutru 0 = 0 + 0\sqrt{2}, fiecare element a + b\sqrt{2} are opusul -a - b\sqrt{2} în S, și adunarea este comutativă.
22 puncte
Se verifică că înmulțirea este internă, asociativă și distributivă față de adunare în S.
32 puncte
Se arată că există element neutru pentru înmulțire: 1 = 1 + 0\sqrt{2}.
42 puncte
Se verifică dacă fiecare element nenul are invers în S. Pentru un element nenul a + b\sqrt{2}, inversul în \mathbb{R} este (a - b\sqrt{2})/(a^2 - 2b^2), dar acesta nu este în S decât dacă a^2 - 2b^2 = \pm 1, deci nu toate elementele nenule au inverse în S.
52 puncte
Concluzie: (S, +, \cdot) este un inel comutativ cu unitate, dar nu este un corp deoarece există elemente nenule fără invers în S.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.