MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriPolinoameAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie inelul R[x]\mathbb{R}[x] al polinoamelor cu coeficienți reali. a) Arătați că R[x]\mathbb{R}[x] este un inel comutativ cu unitate. b) Este R[x]\mathbb{R}[x] un corp? Justificați. c) Considerați polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1. Determinați dacă el este inversabil în R[x]\mathbb{R}[x].

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se verifică că R[x]\mathbb{R}[x] este închis față de adunare și înmulțire: suma și produsul a două polinoame cu coeficienți reali sunt tot polinoame cu coeficienți reali. Adunarea este asociativă și comutativă, înmulțirea este asociativă și comutativă. Elementul neutru la adunare este polinomul nul 00, iar la înmulțire este polinomul constant 11. Distributivitatea este satisfăcută: p(x)⋅(q(x)+r(x))=p(x)⋅q(x)+p(x)⋅r(x)p(x) \cdot (q(x) + r(x)) = p(x) \cdot q(x) + p(x) \cdot r(x) pentru orice p(x),q(x),r(x)∈R[x]p(x), q(x), r(x) \in \mathbb{R}[x].
23 puncte
R[x]\mathbb{R}[x] nu este un corp deoarece există polinoame nenule care nu au invers multiplicativ în R[x]\mathbb{R}[x]. De exemplu, polinomul xx este nenul, dar dacă ar exista g(x)∈R[x]g(x) \in \mathbb{R}[x] astfel încât x⋅g(x)=1x \cdot g(x) = 1, atunci gradul lui x⋅g(x)x \cdot g(x) ar fi cel puțin 1, în timp ce 11 are gradul 0, contradicție. Așadar, xx nu are invers.
34 puncte
Pentru polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1, să presupunem că există g(x)∈R[x]g(x) \in \mathbb{R}[x] astfel încât f(x)⋅g(x)=1f(x) \cdot g(x) = 1. Atunci, gradul lui f(x)⋅g(x)f(x) \cdot g(x) este gradul lui f(x)f(x) plus gradul lui g(x)g(x), adică cel puțin 2 dacă g(x)g(x) nu este polinomul nul. Dar 11 are gradul 0, deci egalitatea este imposibilă. Prin urmare, f(x)f(x) nu este inversabil în R[x]\mathbb{R}[x].

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.