MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriMatrici
Fie M2(R)M_{2}(\mathbb{R}) mulțimea matricelor pătrate de ordinul 2 cu elemente reale, înzestrată cu adunarea și înmulțirea matricelor. Arătați că (M2(R),+,⋅)(M_{2}(\mathbb{R}), +, \cdot) este un inel necomutativ. Este acesta un corp? Justificați.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Închiderea la adunare și înmulțire: suma și produsul a două matrice de ordinul 2 cu elemente reale sunt tot matrice de ordinul 2 cu elemente reale, deoarece operațiile pe matrice păstrează dimensiunile și elementele reale. \
23 puncte
Verificarea proprietăților de inel: adunarea este asociativă, comutativă, are element neutru (matricea zero (0000)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}) și fiecare matrice are opusă (matricea cu elementele opuse); înmulțirea este asociativă; distributivitatea înmulțirii față de adunare: A(B+C)=AB+ACA(B+C) = AB + AC și (A+B)C=AC+BC(A+B)C = AC + BC pentru orice A,B,C∈M2(R)A,B,C \in M_{2}(\mathbb{R}). \
32 puncte
Arătarea că înmulțirea nu este comutativă: de exemplu, pentru A=(1000)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} și B=(0100)B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, avem AB=(0100)AB = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} și BA=(0000)BA = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, deci AB≠BAAB \neq BA. \
42 puncte
Discuția dacă este corp: nu este corp deoarece nu toate matricele nenule au invers; de exemplu, matricea A=(1000)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} este nenulă dar nu este inversabilă (determinantul este 0). \
51 punct
Concluzie: (M2(R),+,⋅)(M_{2}(\mathbb{R}), +, \cdot) este inel necomutativ și nu este corp.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.