GreuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

GreuInele și corpuriPolinoameSisteme de Ecuații Liniare
În inelul polinoamelor Z6[x]\mathbb{Z}_6[x], un polinom f(x)f(x) se numește divizor al lui zero dacă există un polinom nenul g(x)∈Z6[x]g(x) \in \mathbb{Z}_6[x] astfel încât f(x)⋅g(x)=0f(x) \cdot g(x) = 0. Determinați toate polinoamele de forma f(x)=ax2+bx+c∈Z6[x]f(x) = ax^2 + bx + c \in \mathbb{Z}_6[x], cu a,b,c∈Z6a, b, c \in \mathbb{Z}_6, care sunt divizori ai lui zero.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se folosește faptul că un polinom f(x)∈Z6[x]f(x) \in \mathbb{Z}_6[x] este divizor al lui zero dacă și numai dacă există un întreg d∈Z6d \in \mathbb{Z}_6, d≠0d \neq 0, astfel încât dd divide toți coeficienții a,b,ca, b, c și gcd⁡(d,6)≠1\gcd(d, 6) \neq 1.
24 puncte
Se analizează valorile posibile pentru dd: 2, 3, 4, 6. Pentru fiecare, se rezolvă condițiile asupra lui a,b,ca, b, c: dacă d=2d=2, atunci a,b,c∈{0,2,4}a, b, c \in \{0,2,4\}; dacă d=3d=3, atunci a,b,c∈{0,3}a, b, c \in \{0,3\}; dacă d=4d=4, atunci a,b,c∈{0,2,4}a, b, c \in \{0,2,4\} (dar gcd⁡(4,6)=2\gcd(4,6)=2, deci se suprapune cu d=2d=2); dacă d=6d=6, atunci a=b=c=0a=b=c=0, dar polinomul zero nu este considerat divizor al lui zero. Se exclud cazurile în care f(x)f(x) este polinomul zero.
33 puncte
Se listează toate polinoamele f(x)f(x) care satisfac condițiile: cele cu toți coeficienții divizibili cu 2 sau cu 3, dar nu toți zero. De exemplu, 2x2+4x+22x^2 + 4x + 2, 3x2+33x^2 + 3, etc. Se specifică că numărul total de astfel de polinoame este finit și se pot enumera.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.