MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriPolinoameNumere Complexe
Considerăm inelul R[X]\mathbb{R}[X] al polinoamelor cu coeficienți reali și idealul I=(X2+1)I = (X^2+1) generat de polinomul X2+1X^2+1. Demonstrați că inelul factor R[X]/I\mathbb{R}[X]/I este un corp și că acest corp este izomorf cu corpul numerelor complexe C\mathbb{C}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Arătați că polinomul X2+1X^2+1 este ireductibil peste R\mathbb{R} deoarece nu are rădăcini reale (discriminantul este −4<0-4 < 0).
23 puncte
Într-un inel de polinoame peste un corp, un ideal generat de un polinom ireductibil este maximal. Deci II este ideal maximal în R[X]\mathbb{R}[X], iar inelul factor R[X]/I\mathbb{R}[X]/I este corp.
33 puncte
Definiți aplicația φ:R[X]/I→C\varphi: \mathbb{R}[X]/I \to \mathbb{C} prin φ(f(X)+I)=f(i)\varphi(f(X)+I) = f(i), unde ii este unitatea imaginară. Arătați că este bine definită: dacă f(X)+I=g(X)+If(X)+I = g(X)+I, atunci f(X)−g(X)∈If(X)-g(X) \in I, deci f(X)−g(X)=(X2+1)h(X)f(X)-g(X) = (X^2+1)h(X); evaluând în ii, obținem f(i)−g(i)=0f(i)-g(i)=0, deci φ\varphi nu depinde de reprezentant.
42 puncte
Demonstrați că φ\varphi este izomorfism de corpuri: este homomorfism (păstrează adunarea și înmulțirea datorită proprietăților evaluării polinoamelor), injectiv (nucleul este trivial deoarece f(i)=0f(i)=0 implică X2+1∣f(X)X^2+1 \mid f(X) în R[X]\mathbb{R}[X], deci f(X)∈If(X) \in I) și surjectiv (pentru orice a+bi∈Ca+bi \in \mathbb{C}, luați polinomul a+bXa+bX cu φ(a+bX+I)=a+bi\varphi(a+bX+I)=a+bi).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.