MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriMatriciAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie corpul Z5={0,1,2,3,4}\mathbb{Z}_5 = \{0,1,2,3,4\} cu adunarea și înmulțirea modulo 5. a) Rezolvați ecuația 2x+3=12x + 3 = 1 în Z5\mathbb{Z}_5. b) Considerați mulțimea M2(Z5)M_2(\mathbb{Z}_5) a matricelor pătratice de ordin 2 cu elemente din Z5\mathbb{Z}_5. Demonstrați că (M2(Z5),+,⋅)(M_2(\mathbb{Z}_5), +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. c) Explicați de ce acest inel nu este un corp.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Rezolvarea ecuației 2x+3=12x + 3 = 1 în Z5\mathbb{Z}_5. Avem 2x=1−3=−2≡3(mod5)2x = 1 - 3 = -2 \equiv 3 \pmod{5}, deci x=2−1⋅3(mod5)x = 2^{-1} \cdot 3 \pmod{5}. În Z5\mathbb{Z}_5, 2−1=32^{-1} = 3 deoarece 2⋅3=6≡1(mod5)2 \cdot 3 = 6 \equiv 1 \pmod{5}. Astfel, x=3⋅3=9≡4(mod5)x = 3 \cdot 3 = 9 \equiv 4 \pmod{5}. Soluția este x=4x = 4.
24 puncte
Demonstrarea că M2(Z5)M_2(\mathbb{Z}_5) este un inel. Se verifică că adunarea este asociativă, comutativă, are element neutru (0000)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, și fiecare matrice are opusă. Înmulțirea este asociativă și distributivă față de adunare. Elementul neutru la înmulțire este (1001)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Astfel, toate axiomele inelului sunt satisfăcute.
33 puncte
Explicarea de ce inelul nu este un corp. Într-un corp, fiecare element nenul are invers. În M2(Z5)M_2(\mathbb{Z}_5), există divizori ai lui zero, de exemplu matricele A=(1000)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} și B=(0001)B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} sunt nenule, dar A⋅B=(0000)A \cdot B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}. Prin urmare, nu toate elementele nenule au invers, deci inelul nu este un corp.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.