MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriNumere Complexe
Pe mulțimea R×R\mathbb{R} \times \mathbb{R} definim operațiile (a,b)⊕(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) \oplus (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⊗(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \otimes (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Arătați că (R×R,⊕,⊗)(\mathbb{R} \times \mathbb{R}, \oplus, \otimes) este un corp. Calculați inversul elementului (2,3)(2,3) în acest corp.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
(R×R,⊕)(\mathbb{R} \times \mathbb{R}, \oplus) este grup abelian: asociativitatea și comutativitatea sunt evidente, elementul neutru este (0,0)(0,0), inversul lui (a,b)(a,b) este (−a,−b)(-a,-b).
23 puncte
Considerăm R×R∖{(0,0)}\mathbb{R} \times \mathbb{R} \setminus \{(0,0)\} cu ⊗\otimes: operația este asociativă și comutativă (se verifică prin calcul). Elementul neutru este (1,0)(1,0) deoarece (a,b)⊗(1,0)=(a⋅1−b⋅0,a⋅0+b⋅1)=(a,b)(a,b) \otimes (1,0) = (a\cdot1 - b\cdot0, a\cdot0 + b\cdot1) = (a,b). Pentru invers, fie (a,b)≠(0,0)(a,b) \neq (0,0), căutăm (x,y)(x,y) astfel încât (a,b)⊗(x,y)=(1,0)(a,b) \otimes (x,y) = (1,0); rezolvând sistemul {ax−by=1ay+bx=0\begin{cases} ax - by = 1 \\ ay + bx = 0 \end{cases}, obținem x=aa2+b2x = \frac{a}{a^2+b^2}, y=−ba2+b2y = \frac{-b}{a^2+b^2}, care există pentru a2+b2≠0a^2+b^2 \neq 0.
32 puncte
Distributivitatea: (a,b)⊗((c,d)⊕(e,f))=(a,b)⊗(c,d)⊕(a,b)⊗(e,f)(a,b) \otimes ((c,d) \oplus (e,f)) = (a,b) \otimes (c,d) \oplus (a,b) \otimes (e,f), verificabil prin calcul direct.
43 puncte
Pentru (2,3)(2,3), inversul este (x,y)(x,y) cu x=222+32=213x = \frac{2}{2^2+3^2} = \frac{2}{13}, y=−313y = \frac{-3}{13}, deci (213,−313)(\frac{2}{13}, -\frac{3}{13}). Verificare: (2,3)⊗(213,−313)=(2⋅213−3⋅(−313),2⋅(−313)+3⋅213)=(413+913,−613+613)=(1,0)(2,3) \otimes (\frac{2}{13}, -\frac{3}{13}) = (2\cdot\frac{2}{13} - 3\cdot(-\frac{3}{13}), 2\cdot(-\frac{3}{13}) + 3\cdot\frac{2}{13}) = (\frac{4}{13}+\frac{9}{13}, -\frac{6}{13}+\frac{6}{13}) = (1,0).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.