MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriNumere ComplexeLegi de compoziție
Considerăm mulțimea T={a+bi∣a,b∈Q}T = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \} cu operațiile obișnuite de adunare și înmulțire a numerelor complexe. a) Demonstrați că TT este un subinel al lui C\mathbb{C}. b) Verificați dacă TT este un corp.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Arătați că TT este închisă la adunare și înmulțire: pentru a+bi,c+di∈Ta+bi, c+di \in T, suma (a+c)+(b+d)i(a+c) + (b+d)i are coeficienți raționali, iar produsul (ac−bd)+(ad+bc)i(ac-bd) + (ad+bc)i are coeficienți raționali, deci sunt în TT. Verificați că 0=0+0i∈T0=0+0i \in T și 1=1+0i∈T1=1+0i \in T, iar pentru orice a+bi∈Ta+bi \in T, opusul (−a)+(−b)i∈T(-a) + (-b)i \in T. Astfel, TT este subinel.
24 puncte
Verificați dacă TT este corp: pentru orice a+bi≠0a+bi \neq 0 în TT (deci a,b∈Qa,b \in \mathbb{Q} și cel puțin unul nenul), inversul este aa2+b2−ba2+b2i\frac{a}{a^2+b^2} - \frac{b}{a^2+b^2}i. Deoarece a2+b2≠0a^2+b^2 \neq 0 și a,b∈Qa,b \in \mathbb{Q}, coeficienții fracțiilor sunt numere raționale, deci inversul aparține lui TT. Aceasta arată că fiecare element nenul are invers în TT.
32 puncte
Concluzie: TT este un corp deoarece este subinel comutativ și orice element nenul are invers.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.