MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriNumere Complexe
Considerați mulțimea Z[i]={a+bi∣a,b∈Z}\mathbb{Z}[i] = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu operațiile uzuale de adunare și înmulțire ale numerelor complexe. Arătați că Z[i]\mathbb{Z}[i] este un inel comutativ cu unitate. Este Z[i]\mathbb{Z}[i] un corp? Justificați. Apoi, determinați toate elementele inversabile din Z[i]\mathbb{Z}[i].

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Demonstrați că Z[i]\mathbb{Z}[i] este inel comutativ cu unitate: închiderea la adunare și înmulțire, comutativitatea și asociativitatea adunării și înmulțirii, existența elementului neutru 0 pentru adunare și 1 pentru înmulțire, și existența opusului pentru fiecare element.
23 puncte
Argumentați că Z[i]\mathbb{Z}[i] nu este corp, deoarece există elemente nenule fără invers în Z[i]\mathbb{Z}[i], de exemplu 22 (dacă 2(a+bi)=12(a+bi)=1, atunci a,b∈Za,b \in \mathbb{Z} nu satisfac).
33 puncte
Găsiți elementele inversabile: un element a+bi∈Z[i]a+bi \in \mathbb{Z}[i] este inversabil dacă există c+di∈Z[i]c+di \in \mathbb{Z}[i] cu (a+bi)(c+di)=1(a+bi)(c+di)=1. Aceasta implică a2+b2=1a^2 + b^2 = 1, deci soluțiile întregi sunt a=±1,b=0a=\pm 1, b=0 sau a=0,b=±1a=0, b=\pm 1. Astfel, elementele inversabile sunt {1,−1,i,−i}\{ 1, -1, i, -i \}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.