MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriMatrici
Fie mulțimea M2(R)M_2(\mathbb{R}) a matricilor pătratice de ordin 2 cu elemente reale. a) Verificați că (M2(R),+,⋅)(M_2(\mathbb{R}), +, \cdot) este un inel necomutativ. b) Demonstrați că acest inel nu este un corp găsind o matrice nenulă care nu are invers. c) Considerați matricele A=(1200)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} și B=(0034)B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}. Calculați A⋅BA \cdot B și B⋅AB \cdot A și arătați că înmulțirea matricilor nu este comutativă.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Definiți inelul și enumerați axiomele. Arătați că adunarea matricilor este comutativă și asociativă, are element neutru (0000)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, iar înmulțirea este asociativă și distributivă față de adunare, dar nu este comutativă, de exemplu cu A și B date.
24 puncte
Pentru a demonstra că nu este corp, arătați că există matrice nenule fără invers. De exemplu, matricea AA are determinantul 00, deci nu este inversabilă. În general, o matrice pătratică este inversabilă dacă și numai dacă determinantul ei este nenul.
33 puncte
Calculați A⋅B=(1200)⋅(0034)=(6800)A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} și B⋅A=(0034)⋅(1200)=(0036)B \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}. Observați că A⋅B≠B⋅AA \cdot B \neq B \cdot A, confirmând necomutativitatea. De asemenea, discutați că, deși AA și BB sunt nenule, produsele lor nu sunt zero, dar inelul are divizori ai lui zero, de exemplu cu alte matrice.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.