MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriSisteme de Ecuații LiniareLegi de compoziție
În inelul Z8\mathbb{Z}_8 al claselor de resturi modulo 8, rezolvați sistemul de ecuații: {[3]x+[2]y=[1][1]x+[4]y=[0]\begin{cases} [3]x + [2]y = [1] \\ [1]x + [4]y = [0] \end{cases}

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scriem sistemul sub formă matricială: ([3][2][1][4])(xy)=([1][0])\begin{pmatrix} [3] & [2] \\ [1] & [4] \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} [1] \\ [0] \end{pmatrix}. Calculăm determinantul: det⁡=[3][4]−[2][1]=[12]−[2]=[10]=[2]\det = [3][4] - [2][1] = [12] - [2] = [10] = [2] în Z8\mathbb{Z}_8.
24 puncte
Deoarece det⁡=[2]\det = [2], care nu este inversabil în Z8\mathbb{Z}_8 (deoarece 22 și 88 nu sunt coprime), sistemul poate să nu aibă soluție unică. Încercăm metoda substituției. Din a doua ecuație: [1]x+[4]y=[0]⇒x=−[4]y=[4]y[1]x + [4]y = [0] \Rightarrow x = -[4]y = [4]y (deoarece −4≡4mod  8-4 \equiv 4 \mod 8). Înlocuim în prima: [3]([4]y)+[2]y=[1]⇒[12]y+[2]y=[1]⇒[14]y=[1]⇒[6]y=[1][3]([4]y) + [2]y = [1] \Rightarrow [12]y + [2]y = [1] \Rightarrow [14]y = [1] \Rightarrow [6]y = [1] în Z8\mathbb{Z}_8. Ecuația [6]y=[1][6]y = [1] nu are soluție deoarece 66 și 88 nu sunt coprime, deci nu există yy care să satisfacă.
33 puncte
Prin urmare, sistemul nu are soluție în Z8\mathbb{Z}_8.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.