MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriMatriciNumere Complexe
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că MM este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați ecuația X2=(−100−1)X^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} în acest corp.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Verificați stabilitatea lui MM față de adunare și înmulțire: pentru orice A=(ab−ba),B=(cd−dc)∈MA = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} c & d \\ -d & c \end{pmatrix} \in M, suma A+B=(a+cb+d−(b+d)a+c)∈MA+B = \begin{pmatrix} a+c & b+d \\ -(b+d) & a+c \end{pmatrix} \in M și produsul AB=(ac−bdad+bc−(ad+bc)ac−bd)∈MAB = \begin{pmatrix} ac-bd & ad+bc \\ -(ad+bc) & ac-bd \end{pmatrix} \in M.
23 puncte
Arătați că MM este corp: matricea zero (0000)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} este element neutru pentru adunare, matricea identitate (1001)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} este element neutru pentru înmulțire, iar orice matrice nenulă A=(ab−ba)A = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} are inversa A−1=1a2+b2(a−bba)∈MA^{-1} = \frac{1}{a^2+b^2} \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \in M (deoarece a2+b2≠0a^2+b^2 \neq 0 pentru A≠0A \neq 0).
34 puncte
Rezolvați ecuația: notați X=(xy−yx)∈MX = \begin{pmatrix} x & y \\ -y & x \end{pmatrix} \in M. Atunci X2=(x2−y22xy−2xyx2−y2)=(−100−1)X^2 = \begin{pmatrix} x^2-y^2 & 2xy \\ -2xy & x^2-y^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, de unde sistemul {x2−y2=−12xy=0\begin{cases} x^2-y^2 = -1 \\ 2xy = 0 \end{cases}. Din 2xy=02xy=0 rezultă x=0x=0 sau y=0y=0. Dacă x=0x=0, atunci −y2=−1⇒y=±1-y^2=-1 \Rightarrow y=\pm 1. Dacă y=0y=0, atunci x2=−1x^2=-1, imposibil în R\mathbb{R}. Soluțiile sunt X1=(01−10)X_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} și X2=(0−110)X_2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.