MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriMatrici
Fie mulțimea M={(ab0a)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, și dacă este un corp. Justificați răspunsurile.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificarea că (M,+)(M, +) este un grup abelian: adunarea matricelor este asociativă și comutativă, există elementul neutru (0000)∈M\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in M, iar fiecare element (ab0a)\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix} are opusul (−a−b0−a)∈M\begin{pmatrix} -a & -b \\ 0 & -a \end{pmatrix} \in M.
23 puncte
Verificarea că înmulțirea matricelor este asociativă și distributivă față de adunare în MM; de exemplu, pentru orice A,B,C∈MA, B, C \in M, avem A(BC)=(AB)CA(BC) = (AB)C și A(B+C)=AB+ACA(B+C) = AB + AC.
32 puncte
Existența elementului neutru pentru înmulțire: (1001)∈M\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in M și pentru orice A∈MA \in M, A⋅(1001)=AA \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = A.
42 puncte
Verificarea dacă fiecare element nenul din MM are invers în MM: pentru A=(ab0a)A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix} cu a≠0a \neq 0, inversul este A−1=(1a−ba201a)A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{a} & -\frac{b}{a^2} \\ 0 & \frac{1}{a} \end{pmatrix}, care aparține lui MM doar dacă 1a\frac{1}{a} și −ba2-\frac{b}{a^2} sunt reale, dar în general, pentru b≠0b \neq 0, A−1A^{-1} nu este în MM deoarece structura nu permite inversi pentru toate elementele nenule; astfel, MM este inel dar nu corp.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.