MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriMatriciNumere Complexe
Considerați mulțimea T={(xy−yx)∣x,y∈R}T = \left\{ \begin{pmatrix} x & y \\ -y & x \end{pmatrix} \mid x, y \in \mathbb{R} \right\} cu adunarea și înmulțirea matricelor. Demonstrați că (T,+,⋅)(T, +, \cdot) este un corp și construiți un izomorfism între TT și corpul numerelor complexe C\mathbb{C}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se verifică închiderea: pentru orice A=(x1y1−y1x1),B=(x2y2−y2x2)∈TA=\begin{pmatrix} x_1 & y_1 \\ -y_1 & x_1 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} x_2 & y_2 \\ -y_2 & x_2 \end{pmatrix} \in T, suma A+BA+B și produsul A⋅BA \cdot B sunt matrice de aceeași formă, deci în TT.
23 puncte
Se verifică că (T,+)(T, +) este grup abelian (asociativitate, comutativitate, element neutru (0000)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, opus) și că înmulțirea este asociativă și distributivă față de adunare.
32 puncte
Se arată că înmulțirea pe TT este comutativă și că fiecare element nenul A∈TA \in T are invers A−1=1x2+y2(x−yyx)∈TA^{-1} = \frac{1}{x^2+y^2} \begin{pmatrix} x & -y \\ y & x \end{pmatrix} \in T.
43 puncte
Se definește f:T→Cf: T \to \mathbb{C}, f((xy−yx))=x+iyf\left(\begin{pmatrix} x & y \\ -y & x \end{pmatrix}\right) = x + iy și se demonstrează că este bijectivă, f(A+B)=f(A)+f(B)f(A+B)=f(A)+f(B) și f(A⋅B)=f(A)⋅f(B)f(A \cdot B)=f(A) \cdot f(B).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.